Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения. Набор для упражнений в действиях с рациональными числами сложение вычитание умножение и деление


правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами

Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.

Действие сложения рациональных чисел

Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.

Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Определение 1

Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.

Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.

Сложение противоположных рациональных чисел

Определение 2

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).

К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.

Сложение положительных рациональных чисел

В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.

Пример 1

Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.

Решение

Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.

Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:

610+59= 5490+ 5090= 10490=1745

Ответ: 0,6 + 59= 1745.

Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Определение 3

Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Пример 2

Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8,2 и -234 .

Решение

Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: |8,2| = 8,2 и|-234|=234. Проведя сравнение модулей - рациональных чисел, получим: 8,2 > 234 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое - вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8,2-234= 8210- 234= 59 20.

Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Определение 4

Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.

Пример 3

Необходимо произвести сложение чисел: -4,0203 и -12,193.

Решение

Модули заданных чисел соответственно равны: 4,0203 и 12,193. Сложим их:

​​​​​​

Полученному результату присваиваем знак минус: -16,2133.

Ответ: (-4,0203)+(-12,193) =-16,2133.

Действие вычитания рациональных чисел

Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b=a следует, что a-b=c и a-c=b. И наоборот: из равенств a-b =c и a-c=b следует, что c+b=a.

Определение 5

При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.

Пример 4

Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4,(36)– 15.

Решение

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +…)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411

Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955

Ответ: 4,(36)-15= 4955

Определение 6

В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a–b=a+(-b).

Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a+(-b) есть разность чисел a и b.

Пример 5

Необходимо из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537

Решение

Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. -537. Тогда: 27-537=27+-537

Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27= -517

Ответ:27+-537=-517

Действие умножения рациональных чисел

Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.

Умножение на нуль

Определение 7

Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.

Т.е. a·0=0.

Используя переместительное свойство умножения, получим: 0·а=0.

К примеру, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0. Перемножив отрицательное рациональное число -718и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0·0=0.

Умножение на единицу

Определение 8

Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a.

Т.е. a·1=a или 1 · a = a (для любого рационального a). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.

К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46.

Умножение взаимообратных чисел

Определение 9

Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а·а-1=1.

К примеру, результатом произведения чисел 56 и 65 будет единица.

Умножение положительных рациональных чисел

В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

Пример 6

Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.

Решение

Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0,5 = 510= 12.

Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 12 · 625= 650= 325.

Ответ: 0,5 ·625= 325

Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

Пример 7

Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.

Решение

Перемножим десятичные дроби столбиком:

Ответ: 2,121 · 3,4 = 7,2114

В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Определение 10

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.

Пример 8

Необходимо найти произведение чисел: -338и 212

Решение

Согласно вышеуказанному правилу получим: -338·212=-338·212=-338·212

Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338·212=-278·52=-13516=-8716

Ответ: -338·212=-8716

Умножение отрицательных рациональных чисел

Определение 11

Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

Пример 9

Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.

Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3,146 и 56.

Перемножим их столбиком:

Полученный результат и будет являться искомым произведением.

Ответ: (-3,146) · (-56) = 176,176

Деление рациональных чисел

Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b·c =a следует, что a:b =c и a:c=b. И наоборот: из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.

На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.

Определение 12

Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a·b-1.

Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств (a·b-1)· b=a·(b-1·b)=a·1=a, которая и доказывает равенство a : b = a · b-1.

Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.

Пример 10

Необходимо выполнить действие деления 313:-116

Решение

Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.

Число, обратное этой дроби, будет: -67. Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 313-116=313·-67=103·(-67) =-(103·67)=-207= -267

Ответ: 313:-116=-267

www.zaochnik.com

Умножение и деление рациональных чисел

В данном уроке рассматривается умножение и деление рациональных чисел.

Умножение рациональных чисел

Правила умножения целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы умножать рациональные числа, нужно уметь умножать целые числа.

Также необходимо знать основные законы умножения, такие как переместительный закон умножения, сочетательный закон умножения, распределительный закон умножения и умножение на ноль.

Пример 1. Найти значение выражения Минус одна вторая умножить на одну четвертую

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы перемножить рациональные числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Чтобы хорошо увидеть, что мы имеем дело с числами у которых разные знаки, заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками

Минус одна вторая умножить на одну четвертую равно минус одной восьмой

Модуль числа минус одна вторая равен одна вторая, а модуль числа Одна четвертая равен Одна четвертая . Перемножив полученные модули, как положительные дроби, мы получили ответ Одна восьмая , но перед ответом поставили минус, как от нас требовало правило. Чтобы обеспечить перед ответом этот минус, умножение модулей выполнялось в скобках, перед которыми и поставлен минус.

Таким образом, значение выражения Минус одна вторая умножить на одну четвертую  равно Минус одна восьмая

Короткое решение выглядит следующим образом:

Минус одна вторая умножить на одну четвертую равно минус одной восьмой сокращенно

Пример 2. Найти значение выражения  Три десятых умножить на минус одну четвертую

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Три десятых умножить на минус одну четвертую равно минус три сороковых

Решение для данного примера можно записать покороче:

Три десятых умножить на минус одну четвертую минус три сороковых сокращенно

Пример 3. Найти значение выражения МИнус одна вторая умножить на минус одну третью

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Чтобы перемножить отрицательные рациональные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

МИнус одна вторая умножить на минус одну третью равно одной шестой

Решение для данного примера можно записать покороче:

МИнус одна вторая умножить на минус одну третью равно одной шестой сокращенно

Пример 4. Найти значение выражения Минус пять шестых умножить минус два пятнадцатых

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Минус пять шестых умножить минус два пятнадцатых равно минус одна девятая

Решение для данного примера можно записать покороче:

Минус пять шестых умножить минус два пятнадцатых равно минус одна девятая коротко

Пример 5. Найти значение выражения Минус четыре умножить на три восьмых

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

минус четыре умножить на три восьмых

Короткое решение будет выглядеть значительно проще:

Минус четыре умножить на три восьмых равно минус одна целая одна вторая коротко

Пример 6. Найти значение выражения Минус одна целая одна вторая умножить на две третьих

Переведём смешанное число Минус одна целая одна вторая в неправильную дробь. Остальное перепишем, как есть

Минус три вторых умножить на две третьих

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Минус одна целая одна вторая умножить на две третьих равно минус единице

Решение для данного примера можно записать покороче

Минус одна целая одна вторая умножить на две третьих равно минус единице короткое рещение

Пример 7. Найти значение выражения  Семь пятых умножить на минус двенадцать

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Семь пятых умножить на минус двенадцать равно минус шестнадцать целых четыре пятых

Сначала в ответе получилась неправильная дробь Восемьдесят четыре пятых, но мы выделили в ней целую часть. Обратите внимание, что целая часть была выделена от модуля дроби Восемьдесят четыре пятых. Получившееся смешанное число Шестнадцать целых четыре пятых было заключено в скобки, перед которыми поставлен минус. Это сделано для того, чтобы выполнялось требование правила. А правило требовало, чтобы перед полученным ответом стоял минус.

Решение для данного примера можно записать покороче:

Семь пятых умножить на минус двенадцать равно минус шестнадцать целых четыре пятых короткое решение

Пример 8. Найти значение выражения Три пятых умножить на минус две третьих умножить на пять

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Сначала перемножим  Три пятых  и Минус две третьих в скобках и полученное число перемножим с оставшимся числом 5. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение.

Первое действие:

Три пятых умножить на минус две третьих умножить на пять подробное решение

Второе действие:

Минус две пятых умножить на пять равно минус два подробное решение

Ответ: значение выражения Три пятых умножить на минус две третьих умножить на пять равно −2.

Пример 9. Найти значение выражения: Минус две целых одна вторая умножить на минус две целых одна пятая

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Минус пять вторых умножить на одиннадцать пятых

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Минус две целых одна вторая умножить на минус две целых одна пятая подробное решение

Пример 10. Найти значение выражения

Одна целая одна вторая умножить на минус одну целую одну третью умножить на еще несколько множителей

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий. Это позволяет нам вычислить данное выражение в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а вычислим данное выражение слева направо в порядке следования сомножителей. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

Одна целая одна вторая умножить на минус одну целую одну третью первое действие

Второе действие:

Минус два умножить на одну целую одну четвёртую подробное решение

Третье действие:

Минус две целых одна вторая умножить на минус одну целую одну пятую подробное решение

Четвёртое действие:

Три умножить на одну целую одну шестую

Ответ: значение выражения Одна целая одна вторая умножить на минус одну целую одну третью умножить на еще несколько множителей равно Три целых одна вторая

Пример 11. Найти значение выражения Ноль умножить на минус три восьмых

Вспоминаем закон умножения на ноль. Этот закон гласит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения Ноль умножить на минус три восьмых равно нулю:

Ноль умножить на минус три восьмых равно ноль

Пример 12. Найти значение выражения Минус две целых одна вторая умножить на минус пять целых пять третьих уммножить на ноль

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

В нашем примере один из сомножителей равен нулю, поэтому не теряя времени отвечаем, что значение выражения Минус две целых одна вторая умножить на минус пять целых пять третьих уммножить на ноль равно нулю:

Минус две целых одна вторая умножить на минус пять целых пять третьих уммножить на ноль равно нулю

Пример 13. Найти значение выражения Две пятых плюс четыре пятых в скобках умножить на одну вторую

Можно воспользоваться порядком действий и сначала вычислить выражение в скобках Две пятых плюс четыре пятых в скобках и полученный ответ перемножить с дробью одна вторая .

Ещё можно воспользоваться распределительным законом умножения — умножить каждое слагаемое суммы Две пятых плюс четыре пятых в скобках на дробь одна вторая и полученные результаты сложить. Этим способом и воспользуемся.

Две пятых плюс четыре пятых в скобках умножить на одну вторую по распределительному закону

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует сложение и умножение, то в первую очередь нужно выполнять умножение. Поэтому в получившемся новом выражении возьмём в скобки те параметры, которые должны быть перемножены. Так мы хорошо увидим, какие действия выполнить раньше, а какие позже:

Две пятых плюс четыре пятых в скобках умножить на одну вторую по распределительному закону2

Далее вычисляем выражение по действиям. Сначала вычислим выражения в скобках, и полученные результаты сложим

Первое действие:

Две пятых умножить на одну вторую равно одной пятой

Второе действие:

Четыре пятых умножить на одну вторую равно двум пятым

Третье действие:

Одна пятая плюс две пятых равно трем пятым

Ответ: значение выражения Две пятых плюс четыре пятых в скобках умножить на одну вторую  равно  Три пятых

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Две пятых плюс четыре пятых в скобках умножить на одну вторую короткое решение

Видно, что данный пример можно было решить даже в уме. Поэтому следует развивать в себе навык анализа выражения до начала его решения. Вполне вероятно, что его можно решить в уме и сэкономить много времени и нервов. А на контрольных и экзаменах, как известно время очень дорого стоит.

Пример 14. Найти значение выражения −4,2 × 3,2

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Четыре целых две десятых умножить на три целых две десятых равно минус тринадцать целых сорок четыре

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь перемножить десятичные дроби.

 

Пример 15. Найти значение выражения −0,15 × 4

Это умножение рациональных чисел с разными знаками. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус

Минус ноль пятнадцать умножить на четыре равно минус ноль целых шесть десятых

Обратите внимание, как перемножались модули рациональных чисел. В данном случае, чтобы перемножить модули рациональных чисел, потребовалось суметь перемножить десятичную дробь и целое число.

Пример 16. Найти значение выражения −4,2 × (−7,5)

Это умножение отрицательных рациональных чисел. Перемножим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим плюс

Минус четыре целых две десятых умножить на минус семь целых пять десятых

Деление рациональных чисел

Правила деления целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Иными словами, чтобы уметь делить рациональные числа, нужно уметь делить целые числа.

В остальном же применяются те же методы деления обыкновенных и десятичных дробей. Чтобы разделить обыкновенную дробь на другую дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

А чтобы разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, затем выполнить деление, как на обычное число.

Пример 1. Найти значение выражения: Минус одна вторая разделить на три четвертых

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить такое выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Итак, умножим первую дробь на дробь обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь Четыре третьих. На неё и умножим первую дробь:

Минус одна вторая умножить на четыре третьих

Получили умножение рациональных чисел с разными знаками. А как вычислять такие выражения мы уже знаем. Для этого нужно перемножить модули этих рациональных чисел и перед полученным ответом поставить минус.

Дорешаем данный пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Минус одна вторая умножить на четыре третьих равно минус две третьих

Таким образом, значение выражения Минус одна вторая разделить на три четвертых  равно  минус две третьих

Подробное решение выглядит следующим образом:

Минус одна вторая разделить на три червертых равно минус две третьих

Короткое решение будет выглядеть так:

Минус одна вторая разделить на три червертых равно минус две третьих короткое решение

Пример 2. Найти значение выражения  Три четвёртых разделить на минус одну вторую

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь Минус две первых. На неё и умножим первую дробь:

Три четвёртых разделить на минус одну вторую равно минус одна целая одна вторая

Короткое решение будет выглядеть следующим образом:

Три четвёртых разделить на минус одну вторую равно минус одна целая одна вторая коротко

Пример 3. Найти значение выражения Минус три пятых разделить на минус пять девятых

Это деление отрицательных рациональных чисел. Чтобы вычислить данное выражение, опять же нужно первую дробь умножить на дробь обратную второй.

Обратная для второй дроби это дробь Минус девять пятых. На неё и умножим первую дробь:

Минус три пятых умножить на минус девять пятых

Получили умножение отрицательных рациональных чисел. Как вычисляется подобное выражение мы уже знаем. Нужно перемножить модули рациональных чисел и перед полученным ответом поставить плюс.

Дорешаем этот пример до конца. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

Минус три пятых разделить на минус пять девятых равно одна целая две двадцать пятых

Пример 5. Найти значение выражения Минус три разделить на семь пятых

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первое число −3 умножить на дробь, обратную дроби Семь пятых .

Обратная для дроби Семь пятых это дробь Пять седьмых. На неё и умножим первое число −3

Минус три разделить на семь пятых равно минус двум целым одной седьмой

Пример 6. Найти значение выражения Минус четыре пятых разделить на четыре

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу 4.

Обратное для числа 4 это дробь Одна четвертая. На неё и умножим первую дробь Минус четыре пятых

Минус четыре пятых разделить на четыре равно минус одной пятой

Пример 7. Найти значение выражения Минус две восьмых разделить на минус три

Чтобы вычислить данное выражение, нужно первую дробь умножить на число, обратное числу −3

Обратное для числа −3 это дробь Минус одна третья без скобок. На неё и умножим первую дробь:

Минус две восьмых разделить на минус три равно одной двенадцатой

Пример 8. Найти значение выражение −14,4 : 1,8

Это деление рациональных чисел с разными знаками. Чтобы вычислить данное выражение, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным ответом поставить минус

Минус четырнадцать целых четыре десятых разделить на одну целую восемь десятых

Обратите внимание, как модуль делимого был разделён на модуль делителя. В данном случае, чтобы сделать это правильно, потребовалось суметь разделить десятичную дробь на другую десятичную дробь.

Если нет желания возиться с десятичными дробями (а это бывает часто), то эти десятичные дроби можно перевести в смешанные числа, затем перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем заняться непосредственно делением.

Вычислим предыдущее выражение −14,4 : 1,8 этим способом. Переведём десятичные дроби в смешанные числа:

Минус четырнадцать целых четыре десятых перевод в смешанное число

Одна целая восемь десятых перевод в смешанное число

Теперь переведём полученные смешанные числа в неправильные дроби:

Минус четырнадцать целых четыре десятых перевод в неправильную дробь

Одна целая восемь десятых перевод в неправильную дробь

Теперь можно заняться непосредственно делением, а именно разделить дробь  Минус сто сорок черыте десятых  на дробь  Восемнадцать десятых. Для этого нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

Минус сто сорок черыте десятых разделить на восемнадцать десятых вычисление

Пример 9. Найти значение выражения Минус две целых шесть сотых разделить на минус семь десятых

Переведём десятичную дробь −2,06 в неправильную дробь, и умножим эту дробь на дробь, обратную второй:

Минус две целых шесть сотых разделить на минус семь десятых вычисление

Многоэтажные дроби

Часто можно встретить выражение, в котором деление дробей записано с помощью дробной черты. Например, выражение Минус одна вторая разделить на три четвертых  может быть записано следующим образом:

Минус одна вторая разделить на три четвертых дробный вид

В чём же разница между выражениями Минус одна вторая разделить на три четвертых  и   Минус одна вторая разделить на три четвертых дробный вид ? На самом деле разницы никакой. Эти два выражения несут одно и то же значение и между ними можно поставить знак равенства:

Минус одна вторая разделить на три четвертых обычный и дробный вид

В первом случае знак деления представляет собой двоеточие и выражение записано в одну строку. Во втором случае деление дробей записано с помощью дробной черты. В результате получается дробь, которую в народе договорились называть многоэтажной.

При встрече с такими многоэтажными выражениями, нужно применять те же правила деления обыкновенных дробей. Первую дробь необходимо умножать на дробь, обратную второй.

Использовать в решении подобные дроби крайне неудобно, поэтому можно записать их в понятном виде, используя в качестве знака деления не дробную черту, а двоеточие.

Например, запишем многоэтажную дробь Минус одна вторая разделить на три четвертых дробный вид в понятном виде. Для этого сначала нужно разобраться, где первая дробь и где вторая, потому что сделать это правильно удаётся не всегда. В многоэтажных дробях имеется несколько дробных черт, которые могут запутать. Главная дробная черта, которая отделяет первую дробь от второй, обычно бывает длиннее остальных.

После определения главной дробной черты можно без труда понять, где первая дробь и где вторая:

Минус одна вторая разделить на три четвертых запись в понятный вид

И далее можно воспользоваться методом деления дробей — умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 2. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь Минус три разделить на семь пятых запись в этажном виде

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление целого числа −3 на обыкновенную дробь Семь пятых

Минус три разделить на семь пятых запись в понятном виде

А если бы мы по ошибке приняли вторую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим дробь Минус три седьмых  на целое число 5Минус три седьмых разделить на пятьВ этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является число −3, а делителем — дробь Семь пятых.

Пример 3. Запишем в понятном виде многоэтажную дробь Минус пять седьмых разделить на два дробный вид

Находим главную дробную черту (она самая длинная) и видим, что осуществляется деление дроби Минус пять седьмых на целое число 2

Минус пять седьмых разделить на два перевод в понятном виде

А если бы мы по ошибке приняли первую дробную черту за главную (ту, что короче), то получилось бы, что мы делим целое число −5 на дробь Семь вторыхМинус пять разделить на семь вторыхВ этом случае, даже если это выражение вычислить верно, задача будет решена неправильно, поскольку делимым в данном случае является дробь Минус пять седьмых, а делителем — целое число 2.

Несмотря на то, что многоэтажные дроби неудобны в работе, сталкиваться мы с ними будем очень часто, особенно при изучении высшей математики.

Естественно, на перевод многоэтажной дроби в понятный вид уходит дополнительное время и место. Поэтому можно воспользоваться более быстрым методом. Данный метод удобен и на выходе позволяет получить готовое выражение, в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй.

Реализуется этот метод следующим образом:

Если дробь четырехэтажная, например как  Минус одна вторая разделить на три четвертых дробный вид , то цифру находящуюся на первом этаже поднимают на самый верхний этаж. А цифру, находящуюся на втором этаже поднимают на третий этаж. Полученные цифры нужно соединить значками умножения ( × )

Минус одна вторая разделить на три четвертых преобразование

В результате, минуя промежуточную запись Минус одна вторая разделить на три четвертых мы получаем новое выражение Минус один умножить на четыре разделить на два умножить на три , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратную второй. Удобство да и только!

Чтобы не допускать ошибок при использовании данного метода, можно руководствоваться следующим правилом:

С первого на четвёртый. Со второго на третий.

В правиле речь идет об этажах. Цифру с первого этажа нужно поднимать на четвертый этаж. А цифру со второго этажа нужно поднимать на третий этаж.

Попробуем вычислить многоэтажную дробь  Две четвертых разделить на восемь четвертых дробный вид пользуясь вышеприведённым правилом.

Итак, цифру находящуюся на первом этаже поднимаем на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднимаем на третий этаж

Две четвертых разделить на восемь четвертых преобразование

В результате, минуя промежуточную запись Две четвёртых разделить на восемь четвёртых мы получаем новое выражение Два умножить на четыре разделить на четыре умножить на восемь , в котором первая дробь уже умножена на дробь, обратной второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Решение двух четвётых разделить на восемь четвёртых

line

Попробуем вычислить многоэтажную дробь Минус три разделить на семь пятых запись в этажном виде пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только первый, второй и четвёртый этажи. Третий этаж отсутствует. Но мы не отходим от основной схемы: цифру с первого этажа поднимаем на четвёртый этаж. А поскольку третий этаж отсутствует, то цифру находящуюся на втором этаже оставляем, как есть

Минус три разделить на семь пятых преобразование

В результате, минуя промежуточную запись Минус три разделить на семь пятых мы получили новое выражение Минус три умножить на пять разделить на семь , в котором первое число −3 уже умножено на дробь, обратную второй. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Минус три разделить на семь пятых преобразование и вычисление

line

Попробуем вычислить многоэтажную дробь Минус пять седьмых разделить на два дробный вид, пользуясь новой схемой.

Здесь имеется только второй, третий и четвёртый этажи. Первый этаж отсутствует. Поскольку первый этаж отсутствует, подниматься на четвёртый этаж нечему, но зато мы можем поднять цифру со второго этажа на третий:

Минус пять седьмых разделить на два преобразование

В результате, минуя промежуточную запись Минус пять седьмых разделить на два мы получили новое выражение Минус пять разделить на семь умножить на два , в котором первая дробь уже умножена на число, обратное делителю. Далее можно воспользоваться имеющимися знаниями:

Минус пять седьмых разделить на два преобразование и вычисление

Использование переменных

Если выражение сложное и вам кажется, что оно запутает вас в процессе решения задачи, то часть выражения можно занести в переменную и далее работать с этой переменной.

Математики часто так и делают. Сложную задачу разбивают на более лёгкие подзадачи и решают их. Затем собирают решённые подзадачи в одно единое целое. Это творческий процесс и этому учатся годами, упорно тренируясь.

Использование переменных оправдано, при работе с многоэтажными дробями. Например:

Найти значение выражения  Одна вторая минус одна третья разделить ра одну третью минус одну вторую

Итак, имеется дробное выражение в числителе и в знаменателе котором дробные выражения. Другими словами, перед нами снова многоэтажная дробь, которую мы так не любим.

Выражение, находящееся в числителе Одна вторая минус одна третья можно занести в переменную с любым названием, например:

Первое выражение одна вторая минус одна третья

Но в математике в подобном случае переменным принято давать название из больших латинских букв. Давайте не будем нарушать эту традицию, и обозначим первое выражение через большую латинскую букву A

А равно одна вторая минус одна тертья

А выражение, находящееся в знаменателе  Одна третья минус одна вторая  можно обозначить через большую латинскую букву B

B равно одна третья минус одна вторая

Теперь наше изначальное выражение  Одна вторая минус одна третья разделить ра одну третью минус одну вторую  принимает вид  А разделить на B. То есть, мы сделали замену числового выражения на буквенное, предварительно занеся числитель и знаменатель в переменные A и B.

Теперь мы можем отдельно вычислить значения переменной A и значение переменной B. Готовые значения мы вставим в выражение  А разделить на B.

Найдём значение переменной A

Нахождение значения переменной A - одна третья минус одна вторая

Переменная А равна одной шестой

Найдём значение переменной B

Нахождение значения переменной B - одна третья минус одна вторая

B равно минус одной шестой

Теперь подставим в главное выражения  А разделить на B  вместо переменных A и B их значения:

А разделить на B подставление исходных значений

Мы получили многоэтажную дробь в которой можно воспользоваться схемой «с первого на четвёртый, со второго на третий», то есть цифру находящуюся на первом этаже поднять на четвёртый этаж, а цифру находящуюся на втором этаже поднять на третий этаж. Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Вычисление выражения одна вторая минус одна третья разделить на одну третью минус одну вторую

Таким образом, значение выражения  Одна вторая минус одна третья разделить ра одну третью минус одну вторую  равно −1.

Конечно, мы рассмотрели простейший пример, но нашей целью было узнать, как можно использовать переменные для облегчения себе задачи, чтобы свести к минимуму допущение ошибок.

Отметим также, что решение для данного примера можно записать не применяя переменные. Выглядеть оно будет как

Вычисление выражения одна вторая минус одна третья разделить на одну третью минус одну вторую без разбивки

Это решение более быстрое и короткое и в данном случае его целесообразнее так и записать, но если выражение окажется сложным, состоящим из нескольких параметров, скобок, корней и степеней, то желательно вычислять его в несколько этапов, занося часть его выражений в переменные.

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

spacemath.xyz

Разработка урока по теме: "Арифметические действия над рациональными числами"

РАЗРАБОТКА УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ: АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Швефель Т.Э.,учитель математики

г.Кокшетау,КГУ «Красноярская средняя школа № 2»

Тема: Арифметические действия с рациональными числами.

Цель урока: закрепить умения и навыки выполнения действий с положительными и отрицательными числами

Задачи:

1)Образовательные: закрепить знания учащихся по правилам действий над положительными и отрицательными числами, закрепить умения применять правила в процессе выполнения упражнений;

2) Развивающие: развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;

3) Воспитательные: воспитывать познавательный интерес к предмету, настойчивость в достижении цели, активность, целеустремленность.

Тип урока: урок повторения и систематизации знаний

Методы: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый

Формы работы: индивидуальная, парная, коллективная, устная, письменная

Оборудование: интерактивная доска, презентация, раздаточный дидактический материал, сигнальные карточки, карточки для рефлексии

Ход урока:

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Рада вас видеть, видеть вашу готовность к уроку и надеюсь, что мы с вами сегодня проведем время с интересом и пользой. Я верю в ваши способности.

II. Постановка целей урока и формулировка темы урока

Сегодня нам предстоит закрепить умения и навыки выполнения арифметических действий над положительными и отрицательными числами. Эпиграфом сегодняшнего урока я взяла слова французского писателя Анатоля Франса: "Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом".

Кто скажет, что значит поглощать знания с аппетитом? (Отвечают: весело, радостно. чтобы не было скучно, с удовольствием). Вот и мы сегодня будем поглощать знания с удовольствием, потому что они нам пригодятся в дальнейшем. (Слайд 1,2)

III. Разминка

С помощью сигнальных карточек учащиеся оценивают правильность заданий, которые называет учитель(красная- правильно, белая- неправильно).

1. Сейчас идет урок математики (+)

2. Сегодня 15 декабря (+)

3. 5: 0=5 (-)

4. -7+1=-6 (+)

5. Мы живем в селе Красный Яр (+)

6. Наша Родина- Россия (-)

IV. Проверка домашнего задания: № 660(1,2)-комментирование

V. Актуализация знаний учащихся

Повторить правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел ( Слайд 3-6).

VI. Закрепление знаний

"Примеры учат больше, чем теория." М. В. Ломоносов ( Слайд 7)

1) Карточка-тренажер. Работа в парах.( Слайд 8)

Каждому ученику дается карточка с заданиями. После выполнения взаимопроверка.

2) Работа у доски по учебнику: №671(1,2)

(Слайд 9)

3) Дифференцированное задание

На «5»

На «4»

На«3»

Карточка -тренажер

2,5 + (-6) = - (6 – 2,5) = - 3,5

- 2,5 + (-6) = - (2,5 + 6) = - 8,5

- 2,5 + 0 = - 2,5

3,5 – 4,2 = 3,5 + (- 4,2) = - (4,2 – 3,5) = - 0,7

0 – (- 4,2) = 0 + 4,2 = 4,2

- 3,5 – 0 = - 3,5

- 0,8* 5 = - (0,8* 5) = - 4

- 0,8 * (- 5) = 0,8 * 5 = 4

3,2/ (- 8) = - (3,2 / 8) = - 0,4

- 3,2 / (-8) = 3,2 / 8 = 0,4

4) Физминутка ( звучит музыка)

- Положите голову на парту. Закройте глаза. Расслабьтесь.

- Вспомните самое приятное, что с вами произошло во время каникул.

- Потянитесь, как маленькие котята. Улыбнитесь.

- И с таким прекрасным настроением продолжим нашу работу.( Слайд 10)

5) Самостоятельная работа. Взаимопроверка по образцу.(Слайд 11-12)

1 вариант

2 вариант

а) 54+(-84)

б) -70: 35

в) 98+(-89)

г) -78-67

а) -89+90

б) 100:(-50)

в) -78+(-56)

г) -87-68

а) -5,2·0,1

б) -4,3·(-1,6)

в) 36: (-0,9)

а) 6·(-0,15)

б) -2,4·(-1,1)

в) -54:(-0,6)

а) 210·(-7)

б)-210: 7

в)-210-7

г) -210+7

а) -240·(-6)

б) -240: 6

в) -240-(-6)

г) 240+(-6)

Критерии оценок: 0-1 ошибка-«5» , 2-3 ошибки-«4», 4-5 ошибок-«3»

V. Блиц-опрос

1. Числа со знаком «-» называют ( отрицательными).

2. Ни положительным ни отрицательным числом является ( нуль).

3. Число, показывающее положение точки на координатной прямой, называют (координатой) этой точки.

4. Положительные числа расположены (правее) от нуля.

5. Если точка А расположена левее начала отсчета на 7 единиц, то она имеет координату (-7)

6. Числа со знаком «+» перед ними называют ( положительными)

7. Отрицательные числа расположены ( левее) от нуля.

VI. Подведение итогов урока. Рефлексия. (Слайд 13)

На столах карточки с изображением смайлика:

Я все понял(а)!!!

Понял(а), но нужно еще потренироваться!

Я ничего не понял(а)...

VII. Задание на дом: §23, № 672 (Слайд 14-15)

Список литературы

1. Конструирование современного урока математики./Под ред. С.Г. Манвелова-Москва «Просвещение», 2002

2. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных школ / Под ред. А. Е. Абылкасымовой, Т. П. Кучера, З. А. Жумагуловой.-Алматы «Мектеп», 2015.

3. Математика. 6 класс. Самостоятельные работы: учебное пособие для общеобразовательных учреждений./Под ред. И. И.Зубаревой - М.: Мнемозина, 2009.

4. Математика. Дидактические материалы: учебное пособие для 6 классов общеобразовательных школ./Под ред. В.Е. Корчевского, Я.С. Первушиной, А.И. Балгужиновой.- Алматы «Мектеп», 2011

kopilkaurokov.ru

Конспект урока Сложение и вычитание рациональных чисел

Тема Сложение и вычитание рациональных чисел

Тип урок обобщения и систематизации знаний и умений

Цель урока:   Обобщение и систематизация знаний и умений по теме Сложение и вычитание рациональных чисел

Задачи урока

Образовательные   повторить правила сложения отрицательных чисел, сложение чисел с разными знаками, вычитание чисел с разными знаками; совершенствование умений.

Развивающие   способствовать:  логическому мышлению, умению применять знания на практике;  развитию устных вычислительных навыков, правильной математической речи.

Воспитательные    способствовать трудолюбию, умению добиваться своей цели, уважению к товарищам.

Ход урока

Скажи мне - и я забуду,Покажи мне - и я запомню,Дай мне действовать самому - и я научусь.

Китайская мудрость

  1. Орг.момент

Цель: создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Приветствие. Психологический настрой.

Учитель Здравствуйте. Доброго всем дня. Ребята повернитесь друг к другу, улыбнитесь, мысленно пожелайте друг другу удачи на уроке.

   Ребята скажите  какие темы мы изучали на прошлых занятиях?  Что мы делали?  Сегодня у нас урок обобщения по теме «Сложение и вычитание рациональных чисел», какие цели мы поставим себе на урок?

Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема

 

  1. Актуализация знаний

Цель:  оценить готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности.

 

И прежде чем  начать  решать,  давайте  вспомним  некоторые  правила.

 Сейчас мы сыграем с вами в игру «Верите ли вы…». (Учащиеся знакомы с правилами этой игры заранее)

Правила игры:

 Перед вами на столах лежат листы, на которых начерчена таблица

Я читаю вопросы, которые начинаются со слов «Верите ли вы…».

Вы обсуждаете ответы в паре.

 Если вы верите, то во второй строке таблицы ставим знак «+», если нет – «-

1

2

3

4

5

6

Вопросы

Верите ли вы…….

  1. При сложении двух отрицательных чисел, надо вычесть модули слагаемых; поставить перед полученным числом знак минус
  2. Сумма двух противоположных чисел равна 0
  3. Сумма наибольшего целого двухзначного числа и числа (-60) равна 39
  4. Чтобы сложить два числа с разными знаками, модули которых не равны, надо из большего модуля вычесть меньший, перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше
  5. Расстояние между точками равно модулю  разности координат этих точек
  6. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к вычитаемому прибавить число, противоположное уменьшаемому

После обсуждения в паре  учащиеся называют ответы, а учитель заполняют таблицу на доске.

Работа  в паре   

«Найти соответствие»     

1) -12+(-13)                             1)-32,5

2) (+6) – (-8)                           2) -25

            3)  17+(-52)                                          3) 3,3

4) (-6) – (-11)                                      4) 14

5) -2,68+ (-0,32)                                  5) -5,2

6) -8,9-(-3,7)                             6) -35

7) 5,36 +(-2,06)                        7)-3

8) -8 +(-24,5)                            8)5

Ответ 1и2; 2и4; 3 и 6; 4 и 8; 5 и 7; 6 и 5; 7 и 3 ; 8 и 1.

Взаимопроверка

3.   Выполнение  упражнений.

Цель: практическое применение правил сложения и вычитания рациональных чисел.Через  решение практических задач убедить  учащихся в полезности полученных знаний.

Выполнить сложения чисел в тетради (задание выполняется самостоятельно, оценки получают первые три учащихся, выполнивших задания):

Выполните вычитание рациональных чисел.

  1. 48 – (-15)
  2. –5,5 -2,8
  3. 3,7 – 4,5 

Найдите на круге буквы, соответствующие результатам вычислений и составьте из полученных букв слово

Ответ (Умница).

Задание выполняется с места с комментариями.

Найдите значение выражения    (задание выполняется несколькими учащимися у доски).

  1. 3, 75 + (-2,11) + 1,36
  2. – 4,27 – 3,11 – 0,62
  3. – 32,8 + 23,8 – 19,7 + 14,5 – 11,7 + 19,7
  4.  

Решите уравнение   (задание выполняется учащимися у доски).

                  1) -13,7-(-х)=-4,9

2) -2,9+(-х)=-3,8

4.Самостоятельная работа с взаимопроверкой:

Цель: проверить умения и навыки по применению правил сложения и вычитания рациональных чисел. Получение информации из курса биологии и расширить кругозор.

На земном шаре живут птицы – безошибочные «составители» прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано в карточке.

Выполнив все задания, ученик получает ключевое слово.

Пример

Ответ

Буква

1

– 3,8 – 5,7

2

– 8,4 + 3,7

3

3,9 – 8,4

4

– 2,9 + 7,3

5

6

7

– 3,5 + 8,1

8

– 2,9 – 3,6

– 4,5

4,6

11/ 18

4,4

– 3 5/ 6

– 6,5

– 4,7

– 9,5

А

Г

И

М

Н

О

Л

Ф

Ответ:   ФЛАМИНГО строят гнезда в виде конуса: высокие – к дождливому лету; низкие – к сухому. (Показывается ученикам модель конуса).

5.Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Вопросы.

  1. Число, которому соответствует точка на координатной прямой …
  2. Из двух чисел на координатной прямой больше то число, которое расположено …
  3. Число, не являющееся ни отрицательным, ни положительным …
  4. Расстояние от числа до начала отсчета на числовой прямой …
  5. Натуральные числа, им противоположные и нуль …

Постановка домашнего задания:

- подготовиться к контрольной работе:

- повторить правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;

-решить № 533, № 532

6.Рефлексия

В заключенни урока мне бы хотелось прочитать стихотворение:

"К математике способность проявляй,

Не ленись, а ежедневно развивай.

Умножай, дели, трудись, соображай,

С математикой дружить не забывай".

Оценим свои знания. Как мы сегодня поработали?

Удовлетворительно – смайлик желтый.

Хорошо – смайлик зеленый.

Отлично – смайлик красный.

Всем спасибо за урок. Урок закончен

Просмотр содержимого документа «Конспект урока Сложение и вычитание рациональных чисел»

Математика 6 класс

Тема Сложение и вычитание рациональных чисел

Тип урок обобщения и систематизации знаний и умений

Цель урока: Обобщение и систематизация знаний и умений по теме Сложение и вычитание рациональных чисел

Задачи урока

Образовательные повторить правила сложения отрицательных чисел, сложение чисел с разными знаками, вычитание чисел с разными знаками; совершенствование умений.

Развивающие способствовать: логическому мышлению, умению применять знания на практике; развитию устных вычислительных навыков, правильной математической речи.

Воспитательные способствовать трудолюбию, умению добиваться своей цели, уважению к товарищам.

Ход урока

Скажи мне - и я забуду,Покажи мне - и я запомню,Дай мне действовать самому - и я научусь.

Китайская мудрость

  1. Орг.момент

Цель: создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Приветствие. Психологический настрой.

Учитель Здравствуйте. Доброго всем дня. Ребята повернитесь друг к другу, улыбнитесь, мысленно пожелайте друг другу удачи на уроке.

Ребята скажите какие темы мы изучали на прошлых занятиях? Что мы делали? Сегодня у нас урок обобщения по теме «Сложение и вычитание рациональных чисел», какие цели мы поставим себе на урок?

Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема

  1. Актуализация знаний

Цель: оценить готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности.

И прежде чем начать решать, давайте вспомним некоторые правила.

Сейчас мы сыграем с вами в игру «Верите ли вы…». (Учащиеся знакомы с правилами этой игры заранее)

Правила игры:

Перед вами на столах лежат листы, на которых начерчена таблица

Я читаю вопросы, которые начинаются со слов «Верите ли вы…».

Вы обсуждаете ответы в паре .

Если вы верите, то во второй строке таблицы ставим знак «+», если нет – «-

Вопросы

Верите ли вы…….

  1. При сложении двух отрицательных чисел , надо вычесть модули слагаемых; поставить перед полученным числом знак минус

  2. Сумма двух противоположных чисел равна 0

  3. Сумма наибольшего целого двухзначного числа и числа (-60) равна 39

  4. Чтобы сложить два числа с разными знаками, модули которых не равны, надо из большего модуля вычесть меньший, перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше

  5. Расстояние между точками равно модулю разности координат этих точек

  6. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к вычитаемому прибавить число, противоположное уменьшаемому

После обсуждения в паре учащиеся называют ответы, а учитель заполняют таблицу на доске.

Работа в паре

«Найти соответствие»

1) -12+(-13) 1)-32,5

2) (+6) – (-8) 2) -25

3) 17+(-52) 3) 3,3

4) (-6) – (-11) 4) 14

5) -2,68+ (-0,32) 5) -5,2

6) -8,9-(-3,7) 6) -35

7) 5,36 +(-2,06) 7)-3

8) -8 +(-24,5) 8)5

Ответ 1и2; 2и4; 3 и 6; 4 и 8; 5 и 7; 6 и 5; 7 и 3 ; 8 и 1.

Взаимопроверка

3. Выполнение упражнений.

Цель: практическое применение правил сложения и вычитания рациональных чисел .Через решение практических задач убедить учащихся в полезности полученных знаний.

Выполнить сложения чисел в тетради (задание выполняется самостоятельно, оценки получают первые три учащихся, выполнивших задания):

Выполните вычитание рациональных чисел.

  1. 48 – (-15)

  2. –5,5 -2,8

  3. 3,7 – 4,5

Найдите на круге буквы, соответствующие результатам вычислений и составьте из полученных букв слово

Ответ (Умница).

Задание выполняется с места с комментариями.

Найдите значение выражения (задание выполняется несколькими учащимися у доски).

  1. 3, 75 + (-2,11) + 1,36

  2. – 4,27 – 3,11 – 0,62

  3. – 32,8 + 23,8 – 19,7 + 14,5 – 11,7 + 19,7

Решите уравнение (задание выполняется учащимися у доски).

1) -13,7-(-х)=-4,9

2) -2,9+(-х)=-3,8

4.Самостоятельная работа с взаимопроверкой:

Цель: проверить умения и навыки по применению правил сложения и вычитания рациональных чисел . Получение информации из курса биологии и расширить кругозор.

На земном шаре живут птицы – безошибочные «составители» прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано в карточке.

Выполнив все задания, ученик получает ключевое слово.

Пример

Ответ

Буква

1

– 3,8 – 5,7

 

 

2

– 8,4 + 3,7

 

 

3

3,9 – 8,4

 

 

4

2,9 + 7,3

 

 

5

 

 

6

 

 

7

– 3,5 + 8,1

 

 

8

– 2,9 – 3,6

 

 

– 4,5

4,6

11/ 18

4,4

– 3 5/ 6

– 6,5

– 4,7

– 9,5

А

Г

И

М

Н

О

Л

Ф

 

Ответ: ФЛАМИНГО строят гнезда в виде конуса: высокие – к дождливому лету; низкие – к сухому. (Показывается ученикам модель конуса).

5.Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Вопросы.

  1. Число, которому соответствует точка на координатной прямой …

  2. Из двух чисел на координатной прямой больше то число, которое расположено …

  3. Число, не являющееся ни отрицательным, ни положительным …

  4. Расстояние от числа до начала отсчета на числовой прямой …

  5. Натуральные числа, им противоположные и нуль …

Постановка домашнего задания:

- подготовиться к контрольной работе:

- повторить правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;

-решить № 533, № 532

6.Рефлексия

В заключенни урока мне бы хотелось прочитать стихотворение:

"К математике способность проявляй,

Не ленись, а ежедневно развивай.

Умножай, дели, трудись, соображай,

С математикой дружить не забывай".

Оценим свои знания. Как мы сегодня поработали?

Удовлетворительно – смайлик желтый.

Хорошо – смайлик зеленый.

Отлично – смайлик красный..

Всем спасибо за урок. Урок закончен

kopilkaurokov.ru

Математика 6, СФЕРЫ, Бунимович. Рациональные числа.

seninvg07.narod.ru

ГЛАВА 10:  РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
   
Рациональные числа.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов

10 слайдов, 1090 кб

Скачать

   
Координатная прямая.

Что такое координатная прямая? Дайте свое определение этому понятию.

16 слайдов, 791 кб

Скачать

   
Сравнение чисел.

Сочините веселую сказку на тему «Приключения положительных и отрицательных чисел в магазине».

15 слайдов, 1340 кб

Скачать

   
Модуль числа.

Где на координатной прямой расположены точки, изображающие: а) положительные рациональные числа; б) отрицательные рациональные числа?

20 слайдов, 790 кб

Скачать

   
Сравнение рациональных чисел.

В одной стране в газете провели конкурс для всех желающих. Нужно было присылать числа от – 1 до – 100. конкурс предполагает выигравшего, им становится тот, чье число окажется наибольшим.

15 слайдов, 663 кб

Скачать

   
Сложение рациональных чисел.

Какие числа называются отрицательными? Приведите примеры.

 

15 слайдов, 1570 кб

Скачать

   
Вычитание рациональных чисел.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно… Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно… Чтобы вычесть одно число из другого, нужно…

11 слайдов, 1200 кб

Скачать

   
Сложение и вычитание рациональных чисел.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно… Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно… Чтобы вычесть одно число из другого, нужно…

12 слайдов, 506 кб

Скачать

   
Умножение и деление рациональных чисел.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно… Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно… Чтобы вычесть одно число из другого, нужно…

13 слайдов, 1280 кб

Скачать

   

Что можно делать со знаком « – » перед дробью.

Определи ключевые слова урока по анаграмме

14 слайдов, 620 кб

Скачать

   

Все действия с рациональными числами.

Перечислите свойства умножения рациональных чисел. Чему равно произведение числа на нуль?

12 слайдов, 452 кб

Скачать

   

Что такое координаты.

Где в жизни мы сталкиваемся с координатами?

18 слайдов, 452 кб

Скачать

   

Координатная плоскость.

На острове есть пещера, в которой капитан Флинт прятал свои сокровища.

15 слайдов, 785 кб

Скачать

   

Координатная плоскость (2).

Где в жизни мы сталкиваемся с координатной плоскостью?

18 слайдов, 998 кб

Скачать

   

Координатная плоскость (3).

В какой координатной четверти находятся точки, абсциссы которых отрицательны, а ординаты положительны?

11 слайдов, 662 кб

Скачать

   

Обобщение и систематизация знаний по главе 10.

Какие у вас были затруднения на уроке? Нашли ли вы выход из затруднения?

 

10 слайдов, 520 кб

Скачать

   

Проверочная работа по теме «рациональные числа».

2 варианта по 10 заданий

2 слайда, 255 кб

Скачать

   

Действия над рациональными числами

Разделы: Математика

Цель урока:

Образовательные:

  • совершенствовать навыки решения заданий по теме “ Действия с рациональными числами”;
  • закрепить умения выполнять арифметические действия над рациональными числами;
  • проверить умение использовать свойства арифметических действий для упрощения выражений с рациональными числами;
  • обобщить и систематизировать теоретический материал.

Развивающие:

  • развивать навыки устного счёта;
  • развивать логическое мышление, память, внимание;
  • формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
  • развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала;
  • расширить кругозор учащихся.

Воспитательные:

  • воспитывать интерес к предмету, настойчивость, целеустремленность;
  • воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
  • воспитывать уважение к предмету;
  • воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
  • способствовать воспитанию самоконтроля и взаимоконтроля учащихся.

Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная презентация, сигнальные карточки для оценивания ответа, цветные магнитики, листы формата А-4, пакет заданий для каждого обучающегося с маршрутными листами.

Класс, в котором проходил данный урок, изучает математику по УМК “Математика 6 класс” Н.Я. Виленкин и использует на уроках ИУМК “Компетентность. Инициатива. Творчество”. Класс малокомплектный, поэтому работает каждый ученик, а не группы. Во время урока ребята по очереди занимают место за компьютером, и согласно маршрутному листу работают в программе “Обыкновенные дроби” выбрав одну из тем “Сравнение дробей”, “Сложение дробей”, “Вычитание дробей”, “Деление дробей”, “Умножение дробей” и уровень сложности выполнения задания. Справившись с заданием, ученик записывает оценку, которую ему выставил компьютер в свой маршрутный лист и присоединяется к работе класса. В это время учитель работает с остальными учениками по заданиям, представленным на презентации. Ученики по очереди меняют друг друга за компьютером и работают согласно своим маршрутным листам.

Презентация

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы и цели урока, плана путешествия.

2. Вступительное слово учителя.

Дорогие ребята! Путешествие Резнайки за обыкновенными дробями подходит к концу. Скоро вернется Незнайка в свой Цветочный городок к друзьям с обыкновенными дробями, да не один, а с новым сказочным героем Лунтиком. Решил как-то раз Бармалей Незнайке помешать, похитил Лунтика. Знал, что Незнайка спасать своего друга отправиться. А чтобы труднее Незнайке было своего друга, спасать приготовил Бармалей на его пути препятствия математические, с обыкновенными дробями задания. Сможет Незнайка их решить – спасет Лунтика, а не решит – так навек Лунтик у Бпрмалея в плену томиться. Вместе с Незнайкой спасать Лунтика и мы отправимся, прямиком в царство Обыкновеннодробск, где на любом шагу подстерегает нас Бармалей со своим заданием.

Давайте вспомним, какими знаниями в пути Незнайка овладел, какие умения у него в котомке собраны? Какими и мы знаниями да умениями вместе с нашим героем овладели?

А как вы думаете, ребята, сможете ли Вы Незнайке помочь спасать Лунтика? Покажите с помощью сигнальной карточки, на какую оценку вы материалом владеете, зеленая карточка “отлично”, желтая – “хорошо”, красная – “удовлетворительно”.

Итак, мы начинаем наше путешествие в сказочный Обыкновеннодробск спасать нашего героя Лунтика.

Улица “Теоретическая”.

На этой улице Незнайке необходимо продемонстрировать теоретические знания по теме “Рациональные числа и действия над ними”.

Заполните пропуски:

  1. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель ___________________
  2. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель ______________________________
  3. Произведение двух дробей равно дроби, в числителе которой произведение_______________________ данных дробей, а в знаменателе ________________ их знаменателей.
  4. Чтобы разделить одну дробь на другую, отличную от нуля, нужно делимое ________________ на дробь, _______________ делителю.
  5. Сумма двух дробей одинаковым знаменателем является ____________________. А числитель этой дроби равен ______________ числителей тех дробей, которые складывают.
  6. Суммой двух дробей является___________ . Её знаменатель– общее кратное ______________ дробей. Числитель– числитель первой дроби умноженный на _____________________, плюс _________________________________, умноженный на дополнительный множитель.

Проверим нашу работу (ребята читают полностью правила, а затем проверяют свои ответы по слайду).

Вы замечательно знаете теоретический материал, посмотрим, сможете ли вы применить его в нашем путешествии, при решении заданий от Бармалея. Итак, мы отправляемся на улицу Солнечную

Улица “Солнечная”.

В каждый кружок записать такую дробь, которая не является натуральным числом, чтобы при умножении на дробь получалось натуральное число [3]

Какой особенностью обладают дроби, которые вы в кружочек поставили?

Улица “Строительная”.

Вот такую загадку предложил Бармалей Незнайке.

Даны четыре дроби . Три из них перемножили и получили . Произведение каких чисел находили? Какие дроби нужно выбрать чтобы произведение было равно ?[3]

Почему вы выбрали именно эти дроби, что вас натолкнуло на такое решение? Какие знания понадобятся Незнайке при выполнении данного задания?

Продолжаем наше путешествие, попадаем на Переулок “Находчивых”.

Найдите сумму чисел

Каждая минута у Незнайки на счету, как ему рациональным способом найти сумму этих дробей, чтоб быстрее до Лунтика добраться?

Переулка находчивых мы с Незнайкой попадаем на проспект “Смекалистых” и, где нас ждет очередное задание от Бармалея.

Проспект “ Смекалистых”.

Задание № 66. [2]

Расставьте скобки так, чтобы равенство стало верным.

О чем нужно помнить Незнайке при выполнении данного задания? Чему оно его научить может? Зачем его Бармалей приготовил?

Следующая остановка Незнайки на улице “Внимательных” и вот такое задание от Бармалея:

Расставьте в порядке убывания произведения, не производя вычислений:

О чем помнить нам надобно при выполнении данного задания?

Продолжаем наше путешествие, вот и до улицы Задумчивости добрался Незнайка и здесь снова сюрприз от Бармалея.

Улица “Задумчивости”.

Задание № 73. [2]

Какие числа можно записать вместо *, чтобы равенства и неравенства были верными:

Сделайте выводы по результатам выполнения данного задания для любого рационального числа.

Задание № 74. [2]

Какими особенностями должны обладать дроби, которыми можно заменить неизвестные дроби?

Попал Незнайка на Проспект “Знатоков”.

Предложил злодей Незнайке примеры решить, да верные ответы выбирать. Помогите Незнайке с заданием справиться, чем больше верных ответов мы дадим, тем больше шансов Лунтика спасти.

Уж Вы постарайтесь ребятки, помогите Незнайке, на Вас у него все надежды!

Вычислите:

3. Сообщение и комментирование домашнего задания:

Дробь представьте в виде:

1) суммы двух дробей с разными знаменателями; 2) разности двух дробей с разными знаменателями; 3) произведения двух дробей; 4) частного двух дробей. [3]

4. Подведение итогов урока, рефлексия.

Я прошу ответить вас на вопросы анкеты, оцените свою работу на уроке, подчеркнув соответствующее продолжение предложения:

  • На уроке я работал активно/пассивно.
  • Своей работой на уроке я доволен /не доволен.
  • Урок мне показался длинным/ коротким.
  • За урок я устал / не устал.
  • Мое настроение стало лучше/ хуже.
  • Материал урока мне понятен / не понятен.
  • Предлагаемые задания на уроке были легкими/ сложными.
  • Материал урока для меня интересен/ скучен.
  • Домашнее задание мне кажется интересным/ не интересным.

Литература:

  1. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. Математика. 6 класс , Издательство “Мнемозина”, 2010.
  2. Э.Г.Гельфман, Л.Н. Демидова, Н.И. Зильберберг и др. Рациональные числа. Рабочая тетрадь по математике 6 класс, Издательство ТГПУ, 2009, стр. 51, 56,57. Математика. 6-й класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2009.
  3. А.П. Ершова, В.В. Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по математике для учащихся 6классов. М.: Илекса, 2003.
  4. И.И. Зубарева, И.П. Лепешанкова , М.С. Мильштейн.
  5. М.Ю. Шуба Занимательные задания в обучении математике. М.: “Просвещение”, 1991, стр. 96, 97, 106.
  6. ИУМК “Компетентность. Инициатива. Творчество”.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai


Смотрите также