Как перемножить корни. При умножении степени корней


Как умножать корни » VripMaster

Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Умножение корней без множителей

  1. Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = ?
    • Пример 2: √(10) x √(5) = ?
    • Пример 3: √(3) x √(9) = ?
  2. Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
    • Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
    • Пример 3: √(3) x √(9) = √(27)
  3. Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
    • Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
    • Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
      • Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
    • Пример 3: √(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.

Умножение корней с множителями

  1. Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
  2. Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
    • Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
    • Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
  3. Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
    • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
    • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

Умножение корней с разными показателями

  1. Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей – наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:√(5) x √(2) = ?
    • Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
  2. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:
  3. Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении √(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении √(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.

  4. Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражения возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
    • --> √(5) = √(5)
    • --> √(2) = √(2)
  5. Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается:
    • √(5) = √(5 x 5) = √25
    • √(2) = √(2 x 2 x 2) = √8
  6. Перемножьте числа под знаком корня: √(8 x 25)

  7. Запишите ответ. √(8 x 25) = √(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.

Советы

  • Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель – это отдельный член выражения, и операции с ним проводятся отдельно от корня.
  • Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
  • Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 – множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.

vripmaster.com

Действия со степенями и корнями

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

.

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача - внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

а) , так как .

Например, .

б)

Например,

в)

и т. д.

11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

1) ;

2) ;

3)

Другие темы в блоке "Школьная математика"

function-x.ru

Как перемножить корни

Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала выполнить нужные действия с подкоренными выражениями и показателями степени. Чтобы вычисления получились точными, необходимо следовать определенным правилам.

Вам понадобится

  • - корни заданной степени;
  • - ручка;
  • - лист бумаги;
  • - калькулятор.

Инструкция

  • Внимательно прочитайте условия задания и проанализируйте данные. Обратите внимание на показатели степени. От того, разные они или одинаковые, зависит способ действия. Если нужно перемножить корни одной и той же степени, просто перемножьте между собой подкоренные выражения. При этом неважно, со сколькими корнями вы имеете дело. Показатель степени при этом остается тем же самым. Например, вам нужно умножить квадратные корни из чисел a, b и c. Выражение будет выглядеть так: √a*√b*√c = √abc.
  • Деление корней с одинаковыми показателями степени выполняется точно так же. Поставьте знак корня с тем же показателем. Одно подкоренное выражение разделите на другое. √a : √b=√a/b. Вместо a и b можно использовать любые числа или буквенные обозначения. Над знаком корня частного поставьте тот же самый показатель степени, что у делимого и делителя.
  • Если показатели степени разные, вычисления необходимо проводить несколько иначе. Показатели степени в этом случае тоже участвуют в процессе. Их необходимо привести к общему показателю примерно так же, как это делается при приведении простых дробей. Если вам нужно перемножите корни с показателями m и n, то общий показатель будет mn. Соответственно, у первого сомножителя необходимо возвести в степень n оба числа. Умножьте показатели степени радикала на этот дополнительный множитель. Во втором случае умножьте оба показателя на m. Поставьте знак радикала с показателем mn и перемножьте подкоренные выражения, как и в первом способе. Деление выполняется аналогично.
  • Если корни имеют коэффициенты, их необходимо перемножить или разделить отдельно. Результат запишите перед знаком корня, под которым стоит результат умножения или деления подкоренных выражений.
  • Очень часто бывает необходимо вывести один из сомножителей из-под корня или наоборот. Для этого число, стоящее перед радикалом, необходимо возвести в ту же степени, которая обозначена показателем, и убрать под корень. Например, 3√2=√9*2=√18. Можно поступить и наоборот, разложив подкоренное выражение на сомножители. Извлеките корень из того сомножителя, из которого это можно сделать, и выведите его из-под знака радикала.

completerepair.ru

Свойства степеней | Алгебра

Основные свойства степеней задаются формулами:

   

(При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают).

   

(При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя).

   

(При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают).

   

(При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают).

   

(При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят).

Кроме того,

   

(где a≠0)

   

Если n — натуральное число, то

   

в частности,

   

   

в частности,

   

Для a>0

   

В частности,

   

   

В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет: сначала для степени с натуральным показателем, затем — для степени с целым показателем,  далее — для степени с рациональным и иррациональным показателем.

Свойства степеней с натуральным и целым показателем верны и для степеней с рациональными и иррациональными показателем, но накладывается дополнительное условие: основания степеней в этом случае должны быть положительными.

По определению,  для любого α

   

www.algebraclass.ru

Как умножать степени | Алгебра

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

   

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

   

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

   

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

   

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

   

   

   

   

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

   

   

www.algebraclass.ru

корень из а в третьей степени умножить на корень из а в 6 степени, помогите решить, никак не соображу...

а в степени одна третья умножить на а в степени одна шестая. При умножении степени складываются. Получается а в степени одна вторая. То есть корень квадратный из а. ВОТ!

а в степени 1/3+1/6 или корень квадратный из а

a^(1/3)*a^(1/6)=a^(1/3+1/6)=a^(3/6)=a^0.5 То есть корень квадратный из a.

Ёканый бабай сколько Лобачевских развелось! Подобные вопросы задают на Юморе

touch.otvet.mail.ru

Как умножать корни - PontCost

Умножение корней без множителей

  • Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:

Пример 1: √(18) x √(2) = ?

Пример 2: √(10) x √(5) = ?

Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = ?

  • Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:

Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)

Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)

Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)

  • Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:

Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.

Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.

Пример 3: 3√(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.

Умножение корней с множителями

  • Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:

Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)

3 x 1 = 3

Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)

4 x 3 = 12

  • Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:

Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)

Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)

  • Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:

3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)

12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

pontcost.com