3. Направляющие косинусы вектора. Направляющие косинусы как найти


Направление вектора и направляющие косинусы

Направление вектора: основные понятия и определения

Первая точка называется началом вектора, а вторая – его концом.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается ; его длина считается равной нулю. В противном случае, если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.

Замечание. Если длина вектора равна единице, то он называется ортом или единичным вектором и обозначается .

Ненулевой вектор также можно определить как направленный отрезок.

Замечание. Направление нулевого вектора не определено.

Направляющие косинусы вектора

Замечание. Однозначно направление вектора задают его направляющие косинусы.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора необходимо вектор нормировать (то есть вектор поделить на его длину):

   

Замечание. Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Направляющие косинусы вектора.

Навигация по странице:

Определение направляющих косинусов

Определение. Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Основное соотношение. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α = ax;   cos β = ay
|a||a|

Свойство:

рис. 1

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α = ax;   cos β = ay;   cos γ = az
|a||a||a|

Свойство:

cos2α + cos2β + cos2γ = 1

рис. 2

Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Пример 1. Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a: |a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a:

cos α = ax = 3 = 0.6
|a|5
cos β = ay = 4 = 0.8
|a| 5

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Пример 2. Найти значение векора a если его длина равна 26, а направляющие косинусы cos α = 5/13, cos β = -12/13.

Решение:

ax = |a| · cos α = 26 · 5/13 = 10ay = |a| · cos β = 26 · (-12/13) = -24

Ответ: a = {10; -24}.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Найдем направляющие косинусы вектора a:

cos α = ax = 2 = 1
|a|63
cos β = ay = 4 = 2
|a|63
cos γ = az = 4 = 2
|a|63
Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 13, cos β = 23, cos γ = 23.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

вышка

Направляющие косинусы вектора.

Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Свойство: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Так в случае плоской задачи направляющие косинусы вектора a = {ax; ay} находятся по формулам:

;

Пример вычисления направляющих косинусов вектора:

Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.

Решение: |a| =

;

Так в случае пространственной задачи направляющие косинусы вектора a = {ax; ay; az} находятся по формулам:

; ;

Пример вычисления направляющих косинусов вектора

Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| =

;;;

"Как найти направляющие косинусы вектора"

Обозначьте через альфа, бета и гамма углы, образованные вектором а с положительным направлением координатных осей (см. рис.1). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а.

1

Так как координаты а в декартовой прямоугольной системе координат равны проекциям вектора на координатные оси, то а1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета), a3 = |a|cos(гамма). Отсюда: cos (альфа)=a1||a|, cos(бета) =a2||a|, cos(гамма)= a3/|a|. При этом |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Значит cos (альфа)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(бета) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(гамма)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

2

Следует отметить основное свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Действительно, cos^2(альфа)+cos^2(бета)+cos^2(гамма)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^2+ a3^2) = 1.

3

Первый способ

Пример: дано: вектор а={1, 3, 5). Найти его направляющие косинусы. Решение. В соответствии с найденным выпишем: |а|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Таким образом, ответ можно записать в следующей форме: {cos(альфа), cos(бета), cos(гамма)}={1/sqrt(35), 3/sqrt (35), 5/(35)}={0,16;0,5;0,84}.

4

Второй способ

При нахождении направляющих косинусов вектора а, можно использовать методику определения косинусов углов с помощью скалярного произведения. В данном случае в виду имеются углы между а и направляющими единичными векторами прямоугольных декартовых координат i, j и k. Их координаты {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}, соответственно. Следует напомнить, что скалярное произведение векторов определяется так.

Если угол между векторами ф, то скалярное произведение двух ветров (по определению) – это число, равное произведению модулей векторов на cosф. (a, b) = |a||b|cos ф. Тогда, если b=i, то (a, i) = |a||i|cos(альфа), или a1 = |a|cos(альфа). Далее все действия выполняются аналогично способу 1, с учетом координат j и k.

studfiles.net

3. Направляющие косинусы вектора.

Пусть дан вектор (х,у,z).

Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оу иOz соответственно буквами ,и.Три числа cos , cos и cosпринято называть направляющими косинусами вектора . Полагая= (1;0; 0)получаем из (9)

Аналогично

Из формул (11) - (13) следует:

1) сos2 + cos2 + cos2 = 1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице;

т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.

Примечание. Из формул (11)-(13) видно, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,

Пример. Найти направляющие косинусы вектора (1; 2; 2). По формулам (11)-(13) имеем

4. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.

Определение. Векторным произведением двух векторов иназывается новый вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторахи, приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен к плоскости построенного на них параллелограмма) и направлен в такую сторону, чтобы кратчайший поворот отквокруг полученного векторапредставлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора(рис. 40).

Если векторы иколлинеарны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору. Из этого определения следует, что

|| = || || sin,

где - угол между векторамии(0). Векторное произведение векторовиобозначается символом

х или [] или [,].

Выясним физический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точкеМ силу, а векторидет из некоторой точкиО в точкуМ, то вектор=[] представляет собой момент силыотносительно точкиО.

Свойства векторного произведения

1 . При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

х = -(x).

2.

()х=х()=(х),где- скаляр.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

(+) x=x+x.

4. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору:

х =0

(хеще называют векторным квадратом вектора .

5. Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства.

Пусть даны три вектора ,и. Представим себе, что векторумножается векторно наи полученный векторхумножается скалярно на вектор, тем самым определяется число (х). Оно называется илисмешанным произведениемтрех векторов,и.

Для краткости смешанное произведение (х)будем обозначатьили ().

Выясним геометрический смысл смешанного произведения . Пусть рассматриваемые векторыинекомпланарны. Построим параллелепипед на векторах,икак на ребрах.

Векторное произведение xесть вектор(=), численно равный площади параллелограммаOADB(основание построенного параллелепипеда), построенного на векторахии направленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (рис. 41).

Скалярное произведение (x)=есть произведение модуля вектораи проекции векторана(см. п. 1, (2)).

Высота построенного параллелепипеда есть абсолютная величина этой проекции.

Следовательно, произведение | |по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т.е. объему параллелепипеда, построенного на векторах, и.

Рис.42

При этом важно отметить, что скалярное произведение дает объем параллелепипеда иногда с положительным, а иногда с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если угол между векторамииострый; отрицательный - если тупой. При остром угле междуивекторрасположен по ту же сторону плоскостиOADB, что и вектор и, следовательно, из конца векторавращение откбудет видно так же, как и из конца вектора, т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки).

При тупом угле между векторрасположен по другую сторону плоскостиOADB, чем вектор, и, следовательно, из конца векторавращение откбудет видно в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Иными словами, произведениеположительно, если векторы,иобразуют систему, одноименную с основной Oxyz (взаимно расположены так же, как оси Ox, Oy, Oz), и оно отрицательно, если векторы,образуют систему, разноименную с основной.

Таким образом, смешанное произведение есть число,абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда,построенного на векторах ,как на ребрах.

Знак произведения положителен, если векторы ,,образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном .

Отсюда следует, что абсолютная величина произведения =(х)останется той же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители,,. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других - отрицательным; это зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему, одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси координат расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть (рис. 42). Порядок следования не нарушается, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же направлении, т.е. против часовой стрелки. При этом множители переставляются в круговом порядке (циклически). Таким образом, получаем следующее свойство:

Смешанное произведение не меняется при круговой (циклической) перестановке его сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения

= ==-()=-()=-().

Наконец, из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует следующее утверждение.

Необходимым и достаточным условием  компланарности векторов ,,является равенство нулю их смешанного произведения:

=0(14)

studfiles.net

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и(орт вектора) находится по формуле:

.

Пусть ось образует с осями координат углы.Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов:. Если направлениезадано единичным вектором, то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

.

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

.

Если направление задано произвольным вектором, то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора, получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведениемдвух векторовиназывается число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. Если и‑ ненулевые векторы, тотогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если, то угол междуи- острый, если, то угол - тупой;

  5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е..

Следовательно, .

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный векторравно проекции векторана направление, определяемое, т.е..

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

.

Если векторы заданы своими координатами и, т.е.,, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведениячерез координаты векторов:

.

Векторное произведение

Векторным произведением векторана векторназывается вектор, длина и направление которого определяется условиями:

  1. , где‑ угол междуи;

  2. перпендикулярен каждому из векторови;

  3. направлен так, что кратчайший поворот отквиден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда иколлинеарны. В частности,для любого вектора;

  5. Если инеколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограммапостроенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

.

Если и, тоcучетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей:

.

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора ипринадлежат плоскости, т.е. их можно представить каки.

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

.

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то:

(4.12)

Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке.

Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядкавычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правиломСаррюса, которое формулируется следующим образом:

  • Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;

  • Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;

  • Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

studfiles.net

7.3 Направляющие косинусы вектора

33

Формула (5) дает разложение вектора a по прямоугольному Декартову базису. Числаax ,ay ,az называют при этомпрямоугольными илиДекартовыми

координатами вектора ar.

Из теорем о проекциях следует, что линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их Декартовыми коорди-

натами.

ar = ax ir + ay j+ az k,

b = bx i+ by j+ bz kr.

Пусть

Тогда

 

λ ar = λax i+ λay j+ λaz k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ar ±br =(a

x

± b) i

+ (a

y

± b

y

) j

+ (a

z

± b

) kr.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

z

Пример.

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= 5i

−10 j+ 3k, b= −4i+ 2 j−8k.

 

 

 

 

Тогда 3ar + 2b = (3 5+ 2(− 4)) i + (3(−10)+ 2 2) j + (3 3+ 2(−8)) k = = 7ir − 26rj − 7k .

Зная координаты вектора a , можно легко найти выражение для модуля вектораar.

На основании известной теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать:

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

2

ar

 

2 =ax2 +a2y +az2

 

 

 

 

 

 

 

OM

 

=

 

OM1

 

+

 

OM 2

 

+

 

OM 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ar = ax2 +a2y +az2 .

 

z

 

Пусть вектор a образует с координатны-

 

 

 

ми осями Ox ,Oy иOz углыα ,β ,γ соответ-

 

γ a

 

ственно (рис. 1.15). Эти три угла однозначно

 

β

 

определяют направление вектора ar

в простран-

O

y

стве, поэтому косинусы этих углов cosα , cosβ ,

α

cosγ называют направляющими

косинусами

 

 

 

вектора a .

 

ar = ax i + ay rj + az kr. Тогда из

x

Рис. 1.15

 

Пусть

 

 

теоремы 1 о проекциях

 

 

 

 

 

 

 

 

ax = прOxa=

 

 

 

a

 

 

cosα ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ay = прOy a=

 

 

 

 

a

 

 

 

cos β ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

az = прOza=

 

 

a

 

cosγ .

 

 

 

 

 

 

 

34

Отсюда:

cosα =

 

ax

 

=

 

ax

 

 

,

cos β =

 

 

ay

 

=

ay

,

 

ar

 

 

 

 

 

 

 

ar

 

 

 

 

ax2+ a2y

+ az2

 

 

 

ax2 + a2y+ az2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosγ =

 

 

az

 

=

 

az

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ar

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2+ a2y

+ az2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

Соотношение (6) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы cosα , cosβ , cosγ являлись направляющими для некоторого вектора пространства.

7.4 Радиус-вектор

Пусть в пространстве задана прямоугольная Декартова система координат Oxyz . Тогда любая точка пространства

 

z

M однозначно определяется тремя числами

 

M

x ,

y ,

 

z ,

которые равны соответствующим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координатам вектора OM (рис 1.16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

Вектор OMназывают радиус-вектором

y

точки M , а числаx ,y ,z –прямоугольными

 

 

 

Декартовыми координатами точки Mи пи-

x

 

шут M (x ;y ;z) .

Рис. 1.16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.5 Условие коллинеарности двух векторов

Пусть векторы ar иb

коллинеарны. Тогда ar = λ br, т.е.ax = λ bx ,

ay= λ by, az= λ bz, или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

=

 

ay

 

=

a

z .

 

 

 

b

x

 

b

y

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

7.6 Простейшие задачи

Задача 1. Даны две точкиM1(x1;y1;z1 ) иM 2 (x2 ;y2 ;z2 ) . Найти расстояниеρ (M1;M 2 ) между данными точками.

 

 

Решение. Построим

вектор M1M 2 . Очевидно,

M1M2

= OM2

−OM1

 

= {x2− x1; y2− y1; z2− z1

}.

 

 

(рис. 1.17). Тогда

M1M2

 

 

35

 

 

z

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

 

 

 

M1M2

 

= ρ (M1;M 2 )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x

2

− x )2 +( y

2

 

− y )2

+ (z

2

− z )2 .

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Пусть

дан

 

отрезок

 

 

AB ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка

 

M , лежащая на данном отрезке и число

x

 

Рис. 1.17

λ ≠ 0 . Если имеет место соотношение

 

 

 

AM

 

 

= λ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то говорят, что точка M делит отрезокAB в отношенииλ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

Даны две точки

 

A(xA;yA;zA ) ,

B(xB ;yB ;zB )

 

и число λ ≠ 0 .

Найти координаты точки M , делящей отрезокAB в отношенииλ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

Решение.

Обозначим искомые координаты точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M черезx ,y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

z . Построим векторыAM иMB

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 1.18). Тогда

координаты

этих

 

 

векторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(задача 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {x− xA; y− yA; z− zA},

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

AM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− z }.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.18

 

 

 

 

MB = {xB − x; yB − y; zB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.

 

 

 

= λ и векторыAM иMB сонаправлены, тоAM =

λ MB . Отсюда

 

 

 

MB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем соотношения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −xA =λ (xB −x) ,

 

y −yA =λ ( yB −y) ,

 

z −zA =λ (zB −z) .

 

 

 

Тогда искомые координаты точки M равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

xA+ λxB

, y =

yA+ λyB

,

z =

zA+ λzB

.

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + λ

 

 

 

 

1 + λ

 

 

 

 

 

1 + λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные формулы (7) называются формулами деления отрезка в данном отношении.

Замечание 1. Если точкаM – середина отрезкаAB , тоλ =1 и формулы (7) принимают вид

x =

xA+ xB

,

y =

yA+ yB

,

z =

zA+ zB

.

 

2

 

2

 

 

 

2

 

Замечание 2. Прямоугольный Декартов базис и соответствующая ей прямоугольная система координат на плоскости вводятся аналогичным образом.

––––––––––––––––––––––––––––––––––

© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2008

studfiles.net

3.8. Направляющие косинусы вектора И нормальное уравнение прямой

Напомним, что любой геометрический вектор характеризуется его модулем и направлением. Направление вектора = на плоскости определяется углами и (см. рис. 23), образованными им с осями координат и . Косинусы этих углов (так называемые Направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

= = , = = . (12)

Направляющие косинусы вектора на плоскости связаны соотношением

.

Пример 28. Пусть = . Найти направляющие косинусы данного вектора, а также углы и .

Решение. Имеем:

= , = , = = = 3;

= = , = = . Отсюда = , = .

Утверждение 10. Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. Направляющие косинусы любого вектора совпадают с координатами его Орт-вектора (единичного вектора, имеющего то же направление, что и исходный вектор).

При решении задач по аналитической геометрии часто используют Нормальное уравнение прямой на плоскости (рис. 24)

. (13)

Здесь — угол между вектором и осью где — проекция точки (начала координат) на эту прямую, — длина вектора .

Таким образом, — вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой, а — расстояние от начала координат до прямой. Заметим еще, что и суть направляющие косинусы нормального вектора этой прямой.

Из общего уравнения прямой легко получить нормальное, если его разделить на коэффициент (Нормирующий множитель). Следует правильно выбирать знак коэффициента ; он должен быть противоположен знаку свободного члена .

С помощью нормального уравнения прямой легко вычисляется Отклонение точки от прямой:

. (14)

При решении задач полезно иметь в виду, что по разные стороны от прямой отклонение имеет разный знак.

С помощью отклонения легко найти расстояние от произвольной точки до прямой :

. (15)

Напомним еще, что = = = — единичная нормаль прямой. Пусть и — координаты текущей точки прямой , т. е. = — Радиус-вектор этой точки. Нормальное уравнение прямой может быть записано в векторном виде (Векторное уравнение прямой):

: . (16)

Здесь = = = , — угол между векторами и ; — проекция вектора на направление нормали ;

, если , , если ;

— длина проекции , равная расстоянию от начала координат до прямой  .

Пример 29. Уравнение прямой, заданной общим уравнением , привести к нормальному виду и найти расстояние от начала координат до этой прямой.

Решение. Найдем коэффициент . Поскольку , то

.

Разделив общее уравнение прямой на нормирующий множитель , получим нормальное уравнение прямой:

Или

Здесь , — направляющие косинусы нормального вектора прямой; — расстояние от начала координат до прямой .

Пример 30. Стороны треугольника заданы уравнениями: Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника, лежащего против стороны (рис. 25).

Решение. Из систем уравнений

и

Находим координаты двух вершин , .

Подставляя координаты каждой из вершин и в левую часть уравнения соответствующей противоположной стороны, получим:

.

Пусть — произвольная точка искомой биссектрисы, расположенная внутри треугольника. Эта точка лежит по ту же сторону от прямой , что и точка , и поэтому . Она лежит по ту же сторону от прямой , что и точка , и поэтому .

Следовательно, расстояния и от точки до сторон треугольника, в силу (3) или (15), задаются формулами:

.

Так как — точка биссектрисы, то . Отсюда находим уравнение искомой биссектрисы:

.

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua