Область определения функции с логарифмом. Log область определения функции


Функции и свойства натуральных логарифмов: область определения, график

Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если Свойства логарифмов, то Свойства логарифмов.

Логарифм — крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

...

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Свойства логарифмов

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что Свойства логарифмов  означает, что:

Свойства логарифмов.

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов.

Приведем основные алгебраические выражения:

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов.

Внимание! Свойства логарифмов может существовать только при x>0, x≠1, y>0.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

  • lg x — десятичный;
  • ln x — натуральный.

Используя тождество   Свойства логарифмовможно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

х у
1 0
е 1
е2≈7,34 2
 Свойства логарифмов 0,5
e-1≈0.36 -1

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: Свойства логарифмов . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

Свойства логарифмов.

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов.

Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов;

Свойства логарифмов.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Свойства логарифмов

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма Свойства логарифмов .

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале Свойства логарифмов .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.

Свойства логарифмов

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.

Внимание! При стремлении к нулю аргументу, функция y = ln x стремится к Свойства логарифмов  (минус бесконечности).

Предел натурального log можно записать таким образом:

Свойства логарифмов

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения.

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

Свойства логарифмов,

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Свойства логарифмов.

Воспользуемся свойствомСвойства логарифмов  (только вместо «с» у нас выражениеСвойства логарифмов):

Свойства логарифмов

Отсюда получаем универсальную формулу:

Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения.

В частности, если z=e, то тогда:

Свойства логарифмов.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если Свойства логарифмов, то Свойства логарифмов , получаем:

Свойства логарифмов.

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если Свойства логарифмов, то Свойства логарифмов , получаем:

Свойства логарифмов.

Тогда:

Свойства логарифмов.

Свойства логарифмов.

Еще раз применим определение логарифма:

Свойства логарифмов.

Таким образом:

Свойства логарифмов.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение Свойства логарифмов.

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

Свойства логарифмов.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Свойства логарифмов.

Первый корень уравнения:

Свойства логарифмов.

Второй корень уравнения:

Свойства логарифмов.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

Свойства логарифмов.

Используя определение логарифма: если Свойства логарифмов , то Свойства логарифмов, получаем оба корня:

Свойства логарифмов

Свойства логарифмов.

Вспомним, что область определения: Свойства логарифмов. Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.

Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.

Интересные сведения

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно: Свойства логарифмов , при этом s-ое простое число приблизительно будет равно Свойства логарифмов .

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

Свойства логарифмов.

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится Свойства логарифмов битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

 

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

 

Доказательство основного свойства натурального логарифма

 

uchim.guru

Область определения функции | Онлайн калькулятор

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн. Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n. Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. Чтобы получить ответ, укажите функцию, для которой Вы хотите найти область определения. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Вам помог этот калькулятор? Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

allcalc.ru

Область определения функции с логарифмом

Третья распространённая функция – логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения «икс», которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно накладывается условие (так как ).

Пример 9

Найти область определения функции

Решение: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

Графическое решение для чайников:Ответ: область определения:

Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию.

Пример 10

Найти область определения функции

Для решения задачи можно использовать метод предыдущего параграфа – проанализировать, как парабола расположена относительно оси абсцисс. Ответ в конце урока.

Как видите, в царстве логарифмов всё очень похоже на ситуацию с квадратным корнем: функция (квадратный трёхчлен из Примера №7) определена на интервалах , а функция (квадратный двучлен из Примера №6) на интервале . Неловко уже и говорить, функции типа определены на всей числовой прямой.

Полезная информация: интересна типовая функция , она определена на всей числовой прямой кроме точки . Согласно свойству логарифма , «двойку» можно вынести множителем за пределы логарифма, но, чтобы функция не изменилась, «икс» необходимо заключить под знак модуля: . Вот вам и ещё одно «практическое применение» модуля = ). Так необходимо поступать в большинстве случаев, когда вы снОсите чётную степень, например: . Если же основание степени заведомо положительно, например, , то в знаке модуля отпадает необходимость и достаточно обойтись круглыми скобками: .

Чтобы не повторяться, давайте усложним задание:

Пример 11

Найти область определения функции

Решение: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: , а выражение под знаком логарифма – строго положительным: . Таким образом, необходимо решить систему:

Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому условию.

Исследуя расположение параболы относительно оси , приходим к выводу, что неравенству удовлетворяет интервал (синяя штриховка):Неравенству , очевидно, соответствует «красный» полуинтервал .

Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, то решением системы является пересечение данных интервалов. «Общие интересы» соблюдены на полуинтервале .

Ответ: область определения:

Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически.

Найденная область определения не изменится для «похожих функций», например, для или . Также можно добавить какие-нибудь непрерывные на функции, например: , или так: , или даже так: . Как говорится, корень и логарифм – вещь упрямая. Единственное, если одну из функций «сбросить» в знаменатель, то область определения изменится (хотя в общем случае это не всегда справедливо). Ну а в теории матана по поводу этого словесного… ой… существуют теоремы.

Пример 12

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Использование чертежа вполне уместно, так как функция не самая простая.

Ещё пару примеров для закрепления материала:

Пример 13

Найти область определения функции

Решение: составим и решим систему:Все действия уже разобраны по ходу статьи. Изобразим на числовой прямой интервал, соответствующий неравенству и, согласно второму условию, исключим две точки:Значение оказалось вообще не при делах.

Ответ: область определения

Небольшой математический каламбур на вариацию 13-го примера:

Пример 14

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустил, тот в пролёте 😉

Завершающий раздел урока посвящен более редким, но тоже «рабочим» функциям:

 

Области определения функций с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Перед изучением параграфа рекомендую вновь вернуться к первой статье о графиках, чтобы освежить визуальную и аналитическую информацию о перечисленных в заголовке функциях.

Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки , где Z – множество целых чисел. В частности, как отмечалось в статьеГрафики и свойства элементарных функций, у функции выколоты следующие значения:То есть, область определения тангенса: .

загрузка…

Убиваться сильно не будем:

Пример 15

Найти область определения функции

Решение: в данном случае и в область определения не войдут следующие точки:Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:В результате :Ответ: область определения: .

В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой:

Аналитическое решение полностью согласуется с геометрическим преобразованием графика: если аргумент функции умножить на 2, то её график сожмётся к оси в два раза. Заметьте, как у функции уполовинился период, и точки разрыва участились в два раза. Тахикардия.

Похожая история с котангенсом. Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . В частности, для функции автоматной очередью расстреливаем следующие значения:Иными словами:

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 16

Найти область определения функции

Арксинус с арккосинусом, как всегда, выступают хедлайнером математического концерта, и этого стоило дождаться, поскольку кроме нахождения области определения вы сможете научиться решать двойные неравенства (или повторить их).

Если в некоторую функцию входит или , то на её область определения накладывается ограничение в виде двойного неравенства: .

Пример 17

Найти область определения функции

Решение: составим двойное неравенство:

Действия с двойным неравенством очень похожи на действия с «обычным» одинарным неравенством. Конечная цель преобразований – добиться, чтобы в середине остался только «икс».

Сначала избавимся в средней части от константы, для этого вычтем из каждой части неравенства «тройку»:

Умножим все три части неравенства на –1. Поскольку множитель отрицателен, то знаки самих неравенств необходимо «развернуть» в противоположную сторону:

Умножим все части неравенства на :

Запишем ответ, переставив знаки неравенств в привычном порядке, а то по-арабски как-то получилось – от «единицы» до «двух» справа налево.

Ответ: область определения: или

Несложный заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 18

Найти область определения функции

Хотелось разобрать более трудные примеры со сложными функциями когда, скажем, под квадратный корень вложена дробь или логарифм, но для этого нужно рассказывать прометод интервалов, который сейчас наверняка запутает значительную часть аудитории. В этой связи я решил перенести объяснения на урок о нулях и интервалах знакопостоянства функции, где постараюсь вернуться к нахождению области определения сложных функций. А на данный момент лучше усвоить меньше, да качественнее!

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Область определения:

Пример 4: Решение: найдём нули знаменателя: Ответ: область определения:

Пример 6:Решение: найдём область определения: Ответ:

Пример 8:Решение: решим неравенство . Парабола пересекает ось абсцисс в точках . Поскольку , то ветви параболы направлены вниз.Ответ: область определения: Примечание: Неравенства вида и (+ такие же строгие неравенства + неравенства с противоположными знаками), где – положительное число, легко решаются аналитически. Перенесём «единицу» в правую часть: . Умножим обе части неравенства на –1: .Из каждой части извлекаем квадратный корень, при этом «икс» необходимо заключить под знак модуля: .Согласно правилу раскрытия модуля, которое можно найти в школьных формулах: , то есть в итоге и получен наш отрезок .

Пример 10:Решение: решим неравенство . Парабола касается оси в точке , причём, ветви параболы направлены вверх. Таким образом, функция не определена в единственной точке.Ответ: область определения

Пример 12: Решение: составим и решим систему: Ответ: область определения:

Пример 14: Решение: составим и решим систему: Ответ: область определения Примечание: неравенство разрешимо как с помощью анализа расположения параболы относительно оси абсцисс, так и аналитически.Перенесём «двойку» в правую часть: . Из каждой части извлечём квадратный корень, при этом «икс» необходимо заключить под знак модуля: . Согласно правилу раскрытия модуля (см. Горячие формулы школьного курса математики): , что в точности соответствует объединению интервалов .

Пример 16: Решение: область определения функции задаётся системой: Ответ:

Пример 18: Решение: составим и решим двойное неравенство: Ответ: область определения:

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

refac.ru

Логарифм - свойства, формулы, график

Определение логарифма

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

График логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. На графике представлены значения логарифма y(x) = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

 
Область определения 0 < x + ∞ 0 < x + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞ – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 x = 1 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет нет
+ ∞ – ∞
– ∞ + ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так: Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа е:   .

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10:   .

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания

Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательства основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции: Сделаем подстановки : Логарифмируем: Или

Докажем формулу замены основания.Поскольку логарифм по основанию a является обратной функцией к показательной функции по основанию a, то.Прологарифмируем по основанию c..Отсюда получаем формулу замены основания:.Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если    ,   то   

Если    ,   то   

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:.Производная n-го порядка:.Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.;.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: . Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z: . Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ: . Тогда, используя свойства логарифма, имеем: . Или Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить, где n - целое,то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-03-2014   Изменено: 20-03-2017

1cov-edu.ru

Область определения функции с логарифмом

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 12Следующая ⇒

Третья распространённая функция – логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения «икс», которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно накладывается условие (так как ).

Найти область определения функции

Решение: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

Графическое решение для чайников:Ответ: область определения:

Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию.

 

Найти область определения функции

Как видите, в царстве логарифмов всё очень похоже на ситуацию с квадратным корнем: функция . определена на интервалах , а функция

на интервале . Неловко уже и говорить, функции типа определены на всей числовой прямой.

Полезная информация: интересна типовая функция , она определена на всей числовой прямой кроме точки . Согласно свойству логарифма , «двойку» можно вынести множителем за пределы логарифма, но, чтобы функция не изменилась, «икс» необходимо заключить под знак модуля: . Вот вам и ещё одно «практическое применение» модуля = ). Так необходимо поступать в большинстве случаев, когда вы снОситечётнуюстепень, например: . Если же основание степени заведомо положительно, например, , то в знаке модуля отпадает необходимость и достаточно обойтись круглыми скобками: .

 

Найти область определения функции

Решение: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: , а выражение под знаком логарифма – строго положительным: . Таким образом, необходимо решить систему:

Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому условию.

Исследуя расположение параболы относительно оси , приходим к выводу, что неравенству удовлетворяет интервал (синяя штриховка):Неравенству , очевидно, соответствует «красный» полуинтервал .

Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, то решением системы является пересечение данных интервалов. «Общие интересы» соблюдены на полуинтервале .

Ответ: область определения:

Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически.

Найденная область определения не изменится для «похожих функций», например, для или . Также можно добавить какие-нибудь непрерывные на функции, например: , или так: , или даже так: . Как говорится, корень и логарифм – вещь упрямая. Единственное, если одну из функций «сбросить» в знаменатель, то область определения изменится

Найти область определения функции

Решение: составим и решим систему:Все действия уже разобраны по ходу статьи. Изобразим на числовой прямой интервал, соответствующий неравенству и, согласно второму условию, исключим две точки:Значение оказалось вообще не при делах.

Ответ: область определения

Области определения функций с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Перед изучением параграфа рекомендую вновь вернуться к первой статье о графиках, чтобы освежить визуальную и аналитическую информацию о перечисленных в заголовке функциях.

Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаютсяточки , где Z – множество целых чисел. В частности, как отмечалось в статье Графики и свойства элементарных функций, у функции выколоты следующие значения:То есть, область определения тангенса: .

Найти область определения функции

Решение: в данном случае и в область определения не войдут следующие точки:Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:В результате :Ответ: область определения: .

В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой:

Аналитическое решение полностью согласуется с геометрическим преобразованием графика: если аргумент функции умножить на 2, то её график сожмётся к оси в два раза. Заметьте, как у функции уполовинился период, и точки разрываучастились в два раза. Тахикардия.

Похожая история с котангенсом. Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . В частности, для функции автоматной очередью расстреливаем следующие значения:Иными словами:

 

Найти область определения функции

Решение: составим двойное неравенство:

Действия с двойным неравенством очень похожи на действия с «обычным» одинарным неравенством. Конечная цель преобразований – добиться, чтобы в середине остался только «икс».

Сначала избавимся в средней части от константы, для этого вычтем из каждой части неравенства «тройку»:

Умножим все три части неравенства на –1. Поскольку множитель отрицателен, то знакисамих неравенств необходимо «развернуть» в противоположную сторону:

Умножим все части неравенства на :

Запишем ответ, переставив знаки неравенств в привычном порядке, а то по-арабски как-то получилось – от «единицы» до «двух» справа налево.

Ответ: область определения: или

 

 

©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

arhivinfo.ru

Область определения функции

Остановимся на процедуре нахождения области определе­ния функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

(3.1)

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f в (3.1). Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в кор­не четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком ло­гарифма должно быть только

положительным, а также неко­торые другие. Приведем здесь два примера.

Пример 1. у = log2 (x2 — 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x2 — 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 — корни квадратно­го трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (-, 2) и (3,). На рис. 3.4 выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

Рис. 3.4

Пример 2. у = arcsin .

Область определения этой функции находится из совокуп­ности двух условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше единицы и знаменатель аргумента не дол­жен равняться нулю, т.е.

Двойное неравенство эквивалентно двум более простым нера­венствам: х + 2 ≥ 1 и х + 2 ≤ -1. Отсюда получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных проме­жутков: (-, -3] и (-1,). Запретная точках = -2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы полуин­тервалов входят в область определения функции.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример 3. у = 3x-4­­/3 + 2, 1 ≤ х ≤ 4.

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физи­ческим смыслом).

Определение 2. Функция у = f(x) называется четной (сим­метрия относительно оси Оу), если для любых значений аргу­мента из области ее определения выполнено равенство

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выпол­нено условие:

Например, функции у = х2 и у = cos x являются четными, а функции у = x3 и у = sin x— нечетными.

Приложения в экономике

Приведем примеры использования функций в области эко­номики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равнове­сия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложе­ния S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадаю­щей кривой (рис. 3.5, а):

(3.2)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

(3.3)

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Рис. 3.5

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается урав­нением

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

Рис. 3.6

При увеличении благосостояния населения, что соответ­ствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предло­жения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проб­лем рынка, означающая фактически торг между производите­лем и покупателем (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P1 называет производитель (в прос­тейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится по­лучить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D1 при этой цене и определяет свою цену Р2, при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена Р2 ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешев­ле). В свою очередь производитель оценивает спрос D2, соот­ветствующий цене P2, и определяет свою цену Р3, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к "скручи­ванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р0: Pn = P0.

studfiles.net

Логарифмическая функция. Смотр знаний

Разделы: Математика

Цель:

  • повторить свойства логарифмической функции.
  • проверить усвоение темы на обязательном уровне.
  • применять свойства при решении уравнений, неравенств.
  • воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, 2 компьютера с установленной программой “Математика 5–11”

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Французский писатель Анатоль Франс заметил: “Что учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Последуем совету писателя: будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся.

Цель урока: систематизировать знания по теме “Логарифмическая функция” Приложение 1 (Слайд 1)

На уроке рассматриваются пять вопросов:

А) Логарифмическая функция. Б) Логарифмические тождества. В) Область определения логарифмической функции. Г) Логарифмические уравнения. Д) Логарифмические неравенства. (слайды 2, 3)

2. Усвоение знаний

Вопрос 1: “Существование логарифмической функции”.

Еще Аристотель говорил, что определение того или иного понятия, еще не доказывает его существования. Итак, докажем, что логарифмическая функция существует.

Ученик 1 (слайд 4)

Рассмотрим показательную функцию у = ах, где а ≠ 1, а > 0

Пусть а >1, у = ах непрерывна и возрастает на (– ∞; + ∞). По теореме об обратной функции на промежутке (0; + ∞) определена обратная функция по отношению к показательной, причем она непрерывна и возрастает.

Пусть 0 < а < 1, у = ах непрерывна и убывает на (-∞; + ∞), поэтому на участке (0; + ∞) определена обратная к ней функция. Эта обратная функция – логарифмическая.

Функция у = logax называется логарифмической, где а ≠ 1, а >0, х >0

Вопросы для обсуждения (задают учащиеся):

  • имеет ли функция экстремумы
  • принимает ли функция наибольшее значение в некоторой точке ХО
  • является ли функция четной, нечетной
  • в какой точке функция пересекает ось ОХ
  • пересекает ли функция ось ОУ

Вопрос 2:

“Логарифмические тождества”
Слово логарифм происходит от греческого λόyoφ (число) и αρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов был английский математик Непер Джон. (слайд 5)

Его математические труды направлены на упрощение и упорядочение арифметики,

алгебры и тригонометрии. В 1614 году Непер издал труд “Описание удивительной таблицы логарифмов”, в котором не только дал определение логарифма, описал его свойства, но и предложил таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Также Непер открыл логарифмическую кривую. Позднее им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до 70-х годов ХХ в.

Какими же основными тождествами мы пользуемся для вычисления?

Ученик 2:

Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в

, где а ≠ 1, а >0, в >0

называют основным логарифмическим тождеством.

  • Основные свойства логарифмов (слайд 6)

– логарифм произведения равен сумме логарифмов

– логарифм частного равен разности логарифмов

– логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени

  • Десятичный логарифм

Вопросы для обсуждения: (задают учащиеся)

  • найти значение log232, log216
  • найти число log5 x = 2, log7 x = -2
  • вычислить; lg8 + lg125

3 вопрос:

“Область определения логарифмической функции”

Ученик 3 (слайд 7)

  • Область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел

Д(

logа) = R+
  • Область значений логарифмической функции множество всех действительных чисел

E

(logа) = R
  • Логарифмическая функция у = logax возрастает при а >1

  • Логарифмическая функция у = logax убывает при 0 < а < 1

Используя свойства логарифмической функции можно не только вычислять значения логарифма, но и сравнивать

Например:

а) log35 < log37 б) log0,25 > log0,27

Также, находить область определения выражения

Например:

loga (x2 – 16)x2 – 16 > 0у = x2 – 16x2 – 16 = 0x1 = – 4; x2 = 4

Решением данного неравенства есть множество точек (-∞; –4) v (4; + ∞)

Вопросы для обсуждения: (задают учащиеся):

  • как сравнить выражения log232 и 1

4 вопрос:

“Логарифмические уравнения”

Ученик 4 (слайд 8)

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид logа х = в

Логарифмическая функция возрастает или убывает на промежутке (0; + ∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне, для любого в данное уравнение имеет и притом только одно решение.

Теорема: Уравнение вида logа f(х) = logа g(х) равносильно уравнению вида f(х) = g(х) при ограничении

f(х) > 0 g(х) > 0

Пример:

(2х – 4) = –2(2х – 4) = 4 2х – 4 = 4 2х = 8х = 4

ОДЗ:

2х – 4 > 0 2х > 4х > 2

Ответ: х = 4

Вопросы для обсуждения (задают ученики):

  • всегда нужно находить область определения функции, когда решаем логарифмическое уравнение?

5 вопрос: “Логарифмические неравенства”

Ученик 5 (слайд 9)

  • Простейшие логарифмические неравенства имеют вид:

logа х > в;

logа х ≤ в;

logа х < в

logа х ≥ в

Неравенство вида logа f(х) > logа g(х) равносильно неравенству вида f(х) > g(х) при ограничении

f(х) > 0 g(х) > 0

и также используют такие правила:

– если а > 1, то знак неравенства сохраняем – если 0 < а < 1, то знак неравенства меняем на противоположный.

Пример: Решить неравенство

log4 х > log4 (3х – 4)х > 3х – 4 х – 3х > – 4 – 2х > – 4 х < – 4 : (– 2) х < 2  
ОДЗ: х > 0 3х – 4 > 0
х > 0 3х > 4
х > 0 х > 4 : 3

Ответ:

3. Физкультминутка

Мы с вами комплексно повторили знания по теме “Логарифмическая функция”.

На следующем этапе урока нам предстоит работать всем сосредоточенно. Внимательны были? Мы рассмотрели логарифмическую функцию у = logax , если а >1 то функция возрастает. Покажем это.(учитель плавно показывает как функция возрастает).Если 0<а<1 функция убывает, покажем это. Теперь усложним работу, я называю функцию, а вы показываете функция возрастает или убывает.

(у = log3x, , у = log5x)

4. Проверка знаний

Проверку знаний проведем в виде зачета. Одни ученики у нас выступают в роли преподавателей, другие ученики – абитуриенты.

Ваша задача: успешно сдать зачет по теме “Логарифмическая функция”.

Рассматриваются пять вопросов:

А) Логарифмическая функция. Б) Логарифмические тождества. В) Область определения логарифмической функции. Г) Логарифмические уравнения. Д) Логарифмические неравенства.

Преподаватели, могут оказывать помощь своим

абитуриентам, но для этого нужно будет отдать жетон.

Жетонов у каждого абитуриента 3, вопросов 5, так что абитуриенты надейтесь только на свои силы. Результаты сдачи зачета преподаватели будут заносить в контрольный лист. Приложение 2

Зачет начинается. Преподаватели приготовьте свои экзаменационные билеты.

Абитуриентам, я желаю удачи, преподавателям хороших результатов, по своим темам.

Начало и конец зачета начинаем звонком (колокольчик).

5. Зачетные задания

“Логарифмическая функция”

Работа за компьютером. Программа “Математика. 5–11”

Вопросы:

  1. Построить график функции у = log3х и график симметричный относительно у = х.
  2. Принимает ли логарифмическая функция наибольшее значение в некоторой точке.
  3. Построить график функции у = 5х и график симметричный относительно у = х.
  4. Имеет ли логарифмическая функция экстремумы
  5. Построить график функции и график симметричный относительно у = х.
  6. Является ли логарифмическая функция четной, нечетной
  7. Построить график функции у = х и график симметричный относительно у = х.
  8. В какой точке логарифмическая функция пересекает ось ОХ.
  9. Пересекает ли логарифмическая функция ось ОУ.

“Логарифмические тождества”

Применяя формулы выполнить задания: Приложение 3

“Область определения логарифмической функции”

  1. Приведите пример логарифмической функции, которая возрастает на всей области определения.
  2. Приведите пример логарифмической функции, которая убывает на всей области определения.
  3. Найти область определения выражений

а) logπ(10 – 2x) б) log5(9 – x2) в) log0,3(x2 – 16) г) log3(x – 4)

  1. Сравнить числа

а) log2 5,2 и log2 3,6 б) log0,2 6 и log0,2 8 в) log0,3 √2 и log0,3 0,3 г) log5 3 и 1 д) log π 2,9 и 1

  1. Найти область определения выражений

а) log√2(x2- 2x – 3) б) в)

“Логарифмические уравнения”

Решить уравнения:

  • log3(x – 2) = 2;
  • log3(2 x – 4) = log3(x + 7)
  • (5 +2 ч) = 1;
  • log π (х2 + 2х + 3) = log π 6
  • log2(x – 4) = 3;
  • log3(x – 5) = 0
  • log2(3 – x) = 0;
  • log8(x 2 – 1) = 1

“Логарифмические неравенства”

Решить неравенства:

  • log4 х > log4 (3х – 4)
  • (2х – 5) < –2
  • log0,2 (1 – х) >1; log3 (16 – 2х) < log3 4х
  • lоg2х < lg(х + 1)
  • log2 (8 – 6х) < log2 2х; log5 (2х + 3) < log5 (х – 1)
  • > l
  • (2х – 5) > х

6. Итог урока

П.Л.Чебышев говорил: “Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты”

Мы с вами сегодня на уроке убедились в справедливости этих слов. (слайд 10)

Преподаватели выставляют зачет в контрольные листы абитуриентов. Готовятся к выступлению, характеризуют свою тему, справились абитуриенты с заданиями или нет, пользовались ли подсказкой. Тема, на которую было допущено больше всего ошибок, выносится на доработку на следующие уроки.

7. Домашнее задание

(слайд 11)

1-я группа

Работа с учебником М.И. Башмаков, с. 194 (модуль перехода)

Вопрос: Как связать между собой степени и логарифмы с разными основаниями?

№ 55 стр. 225. Решить логарифмические уравнения

2-я группа

1.Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения loga(1 – х) = 4

1) (62; 64) 2) (79; 81) 3) (–81; –79) 4) (–12; –10)

2. Найдите сумму корней уравнения lg(4х – 3) = 2 lgx

1) –2 2) 4 3) –4 4) 2

3. Подпишите графики Приложение 4

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai