Магические квадраты. Как заполнить магический квадрат 4 класс


Как решить магический квадрат для 4 класса

Как решить магический квадрат для 4 класса

Как решать магические квадраты? 17 ноября 2014 23842Смотрите видео Как решать магические квадраты?  Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?Способы решения магических квадратовДля того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?Способ 1Наипростейший вариант магического квадрата - когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения. Способ 2Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек. Итак, для четных квадратов подходит формула:n + ( (n+1) * n * (n-1) / 2), где n - количество ячеек в одной строке. Для нечетных квадратов подходит формула:n * ( n2 +1) / 2, где n - также количество ячеек в одной строке. Пример решенияРассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:3 * ( 32 +1 ) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого нового 

Похожие задачи:

Является ли рациональным или иррациональным числом сумма а + b, где а - 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?смотреть решение >>

erricon.ru

Магический квадрат | Математика | FANDOM powered by Wikia

  1. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица $ n\times n $, заполненная $ n^2 $ числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от $ 1 $ до $ n^2 $.

Магические квадраты существуют для всех порядков $ n\ge 1 $, за исключением $ n=2 $, хотя случай $ n=1 $ тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

    Сумма чисел в каждом столбце, строке и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

    $ M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2} $

    Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

    Порядок n 3 4 5
    17 24 1 8 15
    23 5 7 14 16
    4 6 13 20 22
    10 12 19 21 3
    11 18 25 2 9
    6 7 8 9 10 11 12 13
    M (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
    1. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"
    26
    18 23 19
    17 22
    16 15
    21 20

    Магический квадрат

    \МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3 КЛАСС

    деление суммы на число

    внести кодировку

    19+ 6+23=48

    17+17+14 =48

    28+10 +10 =48

    Исторически значимые магические квадр Править

    1. {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"

    458 507 535 493 542

    What the hell is that?

    Квадраты с дополнительными свойствами Править

    Дьявольский магический квадрат Править

    Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

    Такие квадраты называются ещё пандиагональными.

    Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:

    1 8 13 12
    14 11 2 7
    4 5 16 9
    15 10 3 6
    1 12 7 14
    8 13 2 11
    10 3 16 5
    15 6 9 4
    1 8 11 14
    12 13 2 7
    6 3 16 9
    15 10 5 4

    Однако не было доказано (см., например, [1]), что из последнего третьего варианта простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата. То есть третий вариант - это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.

    Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).

    Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

    Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

    1 15 24 8 17
    9 18 2 11 25
    12 21 10 19 3
    20 4 13 22 6
    23 7 16 5 14

    Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный [2]. Пример идеального магического квадрата [3]:

    21 32 70 26 28 69 22 36 65
    40 81 2 39 77 7 44 73 6
    62 10 51 58 18 47 57 14 52
    66 23 34 71 19 33 67 27 29
    4 45 74 3 41 79 8 37 78
    53 55 15 49 63 11 48 59 16
    30 68 25 35 64 24 31 72 20
    76 9 38 75 5 43 80 1 42
    17 46 60 13 54 56 12 50 61

    У идеальных магических квадратов порядок n обязательно нечетный.

    Примеры более сложных квадратов Править

    Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. [4]). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

    15 10 9 12
    16 19
    17 18
    14 13
    64 2 3 61 60 6 7 57
    9 55 54 12 13 51 50 16
    17 47 46 20 21 43 42 24
    40 26 27 37 36 30 31 33
    32 34 35 29 28 38 39 25
    41 23 22 44 45 19 18 48
    49 15 14 52 53 11 10 56
    8 58 59 5 4 62 63 1
    100 99 93 7 5 6 4 8 92 91
    11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
    30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
    61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
    60 52 48 44 56 55 47 43 49 51
    50 42 53 54 46 45 57 58 59 41
    31 62 63 37 36 35 34 68 69 70
    71 72 28 27 25 76 24 23 79 80
    81 19 18 14 85 86 87 13 12 90
    10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

    Cуществуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

    Шахматный подход Править

    Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек. .
    • Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.
    • Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.
    Шаблон:Link FA

    bn:জাদু বর্গ ca:Quadrat màgic da:Magisk kvadrateo:Magia kvadratofa:مربع وفقیgl:Cadrado máxico he:ריבוע קסם io:Magiala quadratonl:Magisch vierkant pl:Kwadrat magiczny (matematyka)sl:Magični kvadrat sv:Magisk kvadrat ta:மாயச் சதுரம் th:จัตุรัสกล

    ru.math.wikia.com

    Магический квадрат

    Разделы: Математика

    Цели работы:

    Распознать сущность магических квадратов, их влияние на развитие познавательных интересов человека.

    Задачи:

    1. Раскрыть исторические сведения о магических квадратах.
    2. Показать их связь с жизнью.
    3. Выяснить алгоритм построения магического квадрата.
    4. Познакомиться с другими магическими квадратами.

    Древние люди куда больше зависели от природы, чем мы. Не имея метеорологических станций и спутников, центров для обработки наблюдений и прогнозирования, они предсказывали погоду по поведению птиц и животных, форме облаков, цвету восхода и заката Солнца. Найденные приметы передавались из поколения в поколение. Ими не пренебрегает и современная служба погоды.

    Подобные приметы существовали не только для определения погоды, люди пытались найти связи для всех важных для них явлений с другими явлениями. Так родилась астрология, связывающая судьбы людей и народов с расположением небесных светил. А с появлением чисел им стали придавать и мистический смысл. До сих пор многие считают число 13 несчастливым, а уж если тринадцатое число месяца — пятница, то тут жди беды.

    От беды нужно иметь защиту. Так появились разнообразные амулеты, предохраняющие человека от несчастий: драгоценные камни, когти и зубы животных, листья и травы. А в Китае и Индии с давних пор одним из видов амулета была бумажка с девятью цифрами, записанными в некотором порядке (рис.1). Цифры там были, конечно, не те, которыми мы пользуемся сейчас.

    Рис. 1

    Главное свойство такого расположения цифр в том, что их сумма в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из двух диагоналей одна и та же.

    По древней китайской легенде, император Ню, живший 4000 лет назад, однажды нашел на берегу реки священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок, состоящий из черных и белых кружков, соединенных черточками (рис.2). Этот рисунок назвали “ло-шу”.

    Рис. 2

    Подсчитав количество кружков в каждой из фигур, мы получим наш прежний магический квадрат. А существуют ли другие магические квадраты? Давайте подумаем.

    Сначала выясним, чему может равняться сумма чисел в строке. Так как 1 + 2+3+4 + 5+6 + 7 + 8+9 = 45, то в каждой строке (столбце, диагонали) стоит треть от этого числа, т.е. 15.

    Теперь определим число, стоящее в центре. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр. При этом каждое число войдет в сумму по одному разу, а центральное — четыре раза, поэтому 4*15=(45 - х)+4х. Отсюда находим, что х = 5.

    Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон - нечетные.

    Теперь уже нетрудно убедиться, что все магические квадраты получаются из квадрата   “ло-шу” с помощью поворотов вокруг центра и симметрии относительно средних линий и диагоналей. Всего же их 8.

     

     По образу квадрата “ло-шу” в дальнейшем стали придумывать магические квадраты большего размера. На картине знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера “Меланхолия” мы видим магический квадрат размерами 4X4 (рис.3). Любопытно, что два числа в середине его нижней строки указывают год создания картины (1514 г.).

    Рис. 3

    16

    2

    3

    13

    5

    11

    10

    8

    9

    7

    6

    12

    4

    14

    15

    1

    Магическим квадратом стали называть квадрат nхn, в клетках которого записаны числа от 1 до п2 так, что в каждой строке, каждом столбце и по каждой из двух его диагоналей сумма чисел одна и та же. Найти эту сумму не составляет труда, так как 1+2+…+n2=n2(n2+1)/2. Поэтому сумма в каждой строке (столбце, диагонали) равна n(n2+1)/2.

    Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Выдающийся американский общественный деятель, дипломат и ученый Бенджамин Франклин в молодости забавлялся составлением причудливых магических квадратов, скрашивая скучные часы на службе в Законодательном Собрании штата Пенсильвания. Его квадрат 8X8, изображенный на рисунке 4, обладает многими дополнительными свойствами.

    52

    61

    4

    13

    20

    29

    36

    45

    14

    3

    62

    51

    46

    35

    30

    19

    63

    60

    5

    12

    21

    28

    37

    44

    11

    6

    59

    54

    43

    38

    27

    22

    55

    58

    7

    10

    23

    26

    39

    42

    9

    8

    57

    56

    41

    40

    25

    24

    50

    63

    2

    15

    18

    31

    34

    47

    16

    1

    64

    49

    48

    33

    32

    17

    Рис. 4

    Сумма чисел в каждой строке здесь равна 8(64+1)/2=260. При этом сумма чисел в каждой половине строки и в каждой половине столбца равна 130. Четыре числа в углах вместе с четырьмя числами в центре вновь дают 260. И еще много подобных соотношений можно отыскать в этом квадрате.

    Известны и небольшие квадраты с дополнительными свойствами. Так, квадрат 4X4, изображенный на рисунке 5, имеет сумму 34 не только по строкам, столбцам и диагоналям, но и по “разломанным диагоналям” (рис.6), а также в каждом квадрате 2X2. Если такими квадратами замостить плоскость, то каждый квадрат 4X4 в этой плоскости будет магическим.

    1

    12

    6

    15

    8

    13

    3

    10

    11

    2

    16

    5

    14

    7

    9

    4

    Рис. 5

    Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге “Arithmetica integra”, вышедшей в 1544 году, приводит магический квадрат размерами 16X16. Известны магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров.

    Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не существует.

     Рис.6

    При всем том, многое о магических квадратах неизвестно. Неизвестно, как зависит количество магических квадратов nхn от значения размера n. Известно лишь, что квадратов 4X4 существует 880, а квадратов 5X5 — около четверти миллиона. Прямой перебор всех возможностей даже для квадратов 5 X 5 на современных ЭВМ займет около 1000 лет!

    Современных математиков магические квадраты интересуют из-за их связи с так называемыми “конечными геометриями”, в которых используется конечное число точек, а поэтому “прямые” и “плоскости” в таких геометриях также состоят из конечного числа точек.

    Использованная литература:

    • Физико-математический журнал для школьников и студентов “Квант” №4 1995 г.
    • М.М. Постников “Магические квадраты”.

    Презентация

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Магические квадраты

    МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

    Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

    Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.

    Наименьшая магическая константа волшебного квадрата 3х3 равна 15, квадрата 4х4 равна 34, квадрата 5х5 равна 65,

    Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

    ^

    магической константой

    Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 3х3

    и числа, расположенного посередине этого квадрата.

    1 способ

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

    45 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    М = 15.

    Число, записанное посередине 15 : 3 = 5

    Определили, что посередине, записано число 5.

    2 способ

    Можно рассчитать магическую константу по формуле,

    где n – число строк

    n = 3 = = 15

    Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения

    магического квадрата 3х3 с константой 15.

    1 способ построения. Расставь сначала по углам чётные числа

    2,4,8,6 и посередине 5. Остальной процесс простая арифметика

    15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

    2 способ решения

    Используя найденный волшебный квадрат с константой 15, можно задавать множество разноплановых заданий:

    ^ Построить новые различные волшебные квадраты 3 х 3

    Решение.

    Сложив каждое число волшебного квадрата, или умножив его на одно и тоже число, получим новый волшебный квадрат.

    Пример 1. Построить магический квадрат 3 х 3, у которого число, расположенное посередине, равно 13.

    Решение.

    Построим знакомый волшебный

    квадрат с константой 15.

    Найдём число, которое находится в

    середине искомого квадрата

    13 – 5 = 8.

    К каждому числу волшебного

    квадрата прибавим по 8.

    Пример 2. Заполнить клетки волшебных

    квадратов, зная магическую константу.

    М = 42

    Решение. Найдём число,

    записанное посередине 42 : 3 = 14

    42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

    задания для самостоятельного решения

    Примеры. 1. Заполнить клетки волшебных квадратов с магической

    константой М =15.

    1) 2) 3)

    2. Найди магическую константу волшебных квадратов.

    1) 2) 3)

    3. Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу

    1) 2) 3)

    М = 24 М = 30 М = 27

    4. Построить волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа

    равна 21.

    Решение. Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей

    константе 15. По крайним полям записываются чётные числа

    2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15:3).

    По условию надо построить квадрат по магической константе

    21. В центре искомого квадрата должно быть число 7 (21:3).

    Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата

    каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.

    Строим искомый волшебный квадрат:

    21 – (4 + 6) = 11

    21 – (6 + 10) = 5

    21 – (8 + 10) = 3

    21 – (4 + 8) = 9

    4. Построить волшебные квадраты 3х3, зная их магические константы

    М = 42 М = 36 М = 33

    М = 45 М = 40 М = 35

    Построение волшебного квадрата 4 х 4 с наименьшей

    магической константой

    Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 4х4

    и числа, расположенного посередине этого квадрата.

    1 способ

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

    (1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136

    136 : 4= 34.

    2 способ

    Можно рассчитать магическую константу по формуле,

    где n – число строк n = 4.

    = = 34.

    Сумма чисел на любой горизонтали,

    вертикали и диагонали равна 34.

    Эта сумма также встречается во всех

    угловых квадратах 2×2, в центральном

    квадрате (10+11+6+7), в квадрате из

    угловых клеток (16+13+4+1).

    Для построения любых волше́бных квадратов 4х4 надо: построить один

    с константой 34.

    ^ Построить новые различные волшебные квадраты 4 х 4.

    Решение.

    Сложив каждое число найденного

    волшебного квадрата 4 х 4 или

    умножив его на одно и тоже число,

    получим новый волшебный квадрат.

    Пример. Построить магический

    квадрат 4 х 4, у которого магическая

    константа равна 46.

    Решение. Построили знакомый волшебный

    квадрат с константой 34.

    46 – 34 = 12. 12 : 4 = 3

    К каждому числу волшебного квадрата

    прибавим по 3.

    Прежде чем приступить к решению более сложных примеров на волшебных квадратах 4 х 4 ещё раз проверь свойства, которыми он обладает, если М=34.

    Примеры. 1. Заполнить клетки волшебного квадрата с магической

    константой М =38.

    .

    н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 в =38-(17+4+14)=3

    е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 с =38-(3+12+8)=15

    б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 к =38-(6+11+12)=9

    свойство 1,3,1 свойства 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2

    свойства 1,1,1,1

    Ответ.

    Задания для самостоятельного решения

    Заполнить клетки волшебного квадрата с если известна магическая

    константа

    К = 46 К = 58 К = 62

    Познакомься с волшебными квадратами 5х5 и 6х6

    n = 5, n = 6,

    М = = =65. М = = = 111.

    М = 65 М = 111

    do.gendocs.ru

    Магические квадраты

    Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы.

    Начнём с классической задачи построения минимального магического квадрата.

    Задача Расставьте числа от 1 до 9 в клетки квадрата 3х3 так, чтобы суммы троек чисел во всех вертикалях, горизонталях и диагоналях были равны.

    Допустим, мы расставили девять чисел согласно требуемым условиям:

    Тогда должны быть равны суммы a+b+c = d+e+f = g+h+i = a+d+g = b+e+h = c+f+i = a+e+i = c+e+g = S. Число S называется константой магического квадрата. Чтобы найти её, заметим, что 3S= a+b+c + d+e+f + g+h+i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Отсюда S=15.

    Найдём теперь центральный элемент, e. Для этого рассмотрим четыре суммы: центральные вертикаль и горизонталь и обе диагонали. 4S = a+e+i + b+e+h + c+e+g + d+e+f = 3S+3e. Отсюда e=S/3=5.

    Прежде чем сокращать количество неизвестных, сделаем ещё одно наблюдение. Сложим горизонталь, вертикаль и диагональ, выходящие из одного угла. 3S = a+b+c + a+e+i + a+d+g = a+b+c + d+e+f + g+h+i + = 3S + 2c-d-h

    Значит сумма d+h – чётное число. Выходит, что все числа, стоящие в углу – одной чётности и отличной от всех чисел, стоящих на сторонах. Т.к. в сумме по горизонтали стоят два угловых числа и одно боковое, а сама сумма равна нечётному числу, 15ти, то на углах стоят чётные числа, а на сторонах – нечётные.

    Теперь исключаем неизвестные:

    a

    b

    c

    d

    5

    10-d

    10-c

    10-b

    10-a

    Дальше можно было бы ещё удалить переменную d, воспользовавшись равенством a+b+c = a+d+10-c, откуда d=2c+b-10, а также выразить c как 15-a-b, однако пропустим этот шаг и сразу перейдём к заполнению числами.

    Заполнение углов чётными числами с точностью до переворотов и отражений будет единственным. Куда-нибудь ставим двойку, автоматически в противоположном углу будет 8. Оставшуюся пару углов занимают числа 4 и 6:

    Теперь однозначно устанавливаются и нечётные числа на сторонах:

    Итак, мы получили самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат. Согласно китайскому преданию, он был начертан на панцире священной черепахи.

    Помимо последовательных натуральных чисел, отдельный интерес представляет расположение в клетках магического квадрата простых чисел, квадратов, кубов и пр. А исследователь Наталия Макарова в теме о магических квадратах на научном форуме представляет свои результаты и приглашает к поиску квадратов, состоящих из последовательных чисел Смита.

    Числа Смита – отдельное любопытное явление. У этих чисел сумма цифр совпадает с суммой цифр всех их простых делителей. Например, 2888=2*2*2*19*19 2+8+8+8=2+2+2+1+9+1+9

    Минимальный квадрат 3х3 из последовательных чисел Смита нашёл Макс Алексеев

    84138954584

    84138954498

    84138954532

    84138954486

    84138954538

    84138954590

    84138954544

    84138954578

    84138954492

    Как говорит сама Наталия:

    Сложность этой задачи состояла в том, что для её решения пришлось сгенерировать очень большие числа Смита.

    Теперь остались не построены квадраты порядков 4 - 5, 7 - 9 из последовательных чисел Смита; а из произвольных - только квадраты порядков 7 - 9 осталось построить.

    Ну, разумеется, не считая квадратов больших порядков. Квадраты из последовательных смитов построены до порядка 50, а квадраты из произвольных - до порядка 35. Можно и дальше продолжить построение, для следующих порядков.

    Квадраты больших порядков построены по уникальным программам Stefano Tognon (Италия), которые, увы, не работают для маленьких порядков.

    Сейчас в последовательности A170928 минимальных констант магических квадратов, состоящих из чисел Смита, стоят три вопросика, как раз для непостроенных магических квадратов порядков 7 - 9. Каждый, кто сможет построить такой квадрат, будет его автором и попадёт со своим квадратом в энциклопедию OEIS. По-моему, это неплохой стимул к решению задачи :)

    Так что задача открыта и вы можете сказать новое слово и вписать своё имя в исследования магических квадратов.

    Желаем удачи!!!

    P.S. 19 февраля участник 12d3 с научного форума dxdy.ru нашёл, а svb подтвердил правильность вычисления магического квадрата из чисел Смита пятого порядка.

    1743898107

    1743898095

    1743898425

    1743898281

    1743898414

    1743898144

    1743898450

    1743898341

    1743898256

    1743898131

    1743898371

    1743898155

    1743898226

    1743898268

    1743898302

    1743898440

    1743898166

    1743898168

    1743898306

    1743898242

    1743898260

    1743898456

    1743898162

    1743898211

    1743898233

    Исследование продолжается.

    intelmath.narod.ru

    Как решить магический квадрат 4 класса

     ИНТЕРЕСНОЕ

    Как решать магические квадраты?

     17 ноября 2014

     23842

    Смотрите видео

     

    Как решать магические квадраты?

     

     

    Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?

    Способы решения магических квадратов

    Для того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?

    Способ 1

    Наипростейший вариант магического квадрата - когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения.

    Способ 2

    Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек.

    Итак, для четных квадратов подходит формула:

    n + ( (n+1) * n * (n-1) / 2) , где n - количество ячеек в одной строке.

    Для нечетных квадратов подходит формула:

    n * ( n2 +1) / 2 , где n - также количество ячеек в одной строке.

    Пример решения

    Рассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:

    3 * ( 32 +1 ) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15

    Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.

    Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого нового 

    Оцени ответ

    napyaterku.com

    Магические квадраты

    Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение гимназия №1 муниципального района Мелеузовский район

    Республики Башкортостан

    Исследовательская работа

    по информатике

    «Использование Microsoft Excel

    для решения математической задачи –

    составление магических квадратов»

    Выполнила: Кормакова Яна,

    ученица 7А класса

    Руководитель: Животова Е.П.

    учитель математики и информатики

    2009 г.

    План

    ведение

    1. История появления магических квадратов

    2. Способы заполнения магических квадратов

    3. Реализация способов заполнения магических квадратов с помощью программы Microsoft Excel.

    4. Исследование количества решений поставленной задачи.

    5. Выводы

    Используемые источники

    Введение

    Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

    Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

    Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

    Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

    Тема исследования: заполнение магических квадратов.

    Объект исследования: магический квадрат.

    Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

    Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления

    Задачи исследования:

    • Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

    • изучить известные способы заполнения магических квадратов

    • познакомиться с программой Microsoft Excel

    • разработать в Microsoft Excel шаблоны для заполнения магических квадратов

    • исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.

    Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

    Этапы исследования:

    1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

    2. опробация найденных методов

    3. изучение программы Microsoft Excel на уровне необходимом для заполнения квадратов и вычисления их сумм

    4. оформление работы

    Оборудование:

    • компьютер

    • проектор для демонстрации презентации

    • сопроводительная презентация

    • документ Microsoft Excel с подготовленными шаблонами по различным методам.

    1. История появления магических квадратов

    МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

    Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

    рис.1 рис.2

    В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

    Основная терминология

    Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

    В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n  3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью тадлицы.

    Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

    Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3).

    Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

    рис.3

    Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

    1. Способы заполнения магических квадратов

    Магические квадраты нечетного порядка

    Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

    рис.4

    Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

    Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).

    Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

    Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

    en.coolreferat.com