Область определения и множество значений. Как найти область определения функции логарифмической


Как найти область определения логарифмической функции примеры

Площадь параллелограмма можно найти по стороне и проведённой к этой стороне высоте, по двум сторонам и углу, по диагоналям и углу между ними.

Как найти область определения функции?

Будем исходить из того, что Вы знаете, что такое область определения функции и что Вам известны области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т. п.). Если нет, то рекомендуем вернуться к информации указанной статьи, так как ниже мы будем постоянно опираться на нее, объясняя, как найти область определения функции.

Навигация по странице.

Что значит найти область определения функции?

Известно, что когда задается какая-либо функция, то сразу указывается ее область определения. Другими словами, нельзя говорить о функции без ее области определения. Тогда возникает логичный вопрос, откуда взяться задаче с формулировкой найти область определения функции, если область определения должна быть указана вместе с самой функцией? А дело здесь вот в чем.

Функции очень часто задают, просто записывая формулу вида y=f(x) , при этом область определения функции явно не указывают. В этом случае подразумевают, что областью определения функции является множество всех таких значений аргумента, при котором выражение f(x) смысл (то есть, ОДЗ переменной x выражения f(x) ). Так вот встает задача нахождение этого множества значений аргумента, которая по сути и составляет задачу поиска области определения функции.

Что указывает на возможное ограничение области определения?

В школе обычно изучаются функции действительной переменной. При этом область определения отдельно взятой функции это, либо все множество действительных чисел R, либо некоторое его подмножество, например, промежуток (0, +∞) или множество [−3, 1)∪[5, 7) . По виду формулы, задающей функцию, можно определить, что область определения функции отлична от множества R. Давайте рассмотрим, что указывает на возможное наличие ограничений области определения:

Правила нахождения области определения

Первые задачи на нахождение области определения функции начинают проскакивать на уроках алгебры в 8-9 классе. Они довольно простые и решаются, исходя из очевидных соображений.

В качестве примера приведем рассуждения, позволяющие найти область определения функции y=2·x+1 . Мы можем вычислить значение выражения 2·x+1 для любого значения переменной x, поэтому, область определения функции y=2·x+1 – это множество всех действительных чисел.

Но дальше начинают встречаться функции все более и более сложных видов, особенно в сборниках задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, и возникает потребность в строгих правилах, позволяющих находить области определения всевозможных функций. Но тут всплывает неприятный сюрприз: в учебниках алгебры эти правила отдельно не выделены и их приходится выискивать из контекста. Восполним этот пробел.

Для удобства изучения дальнейшего материала расположите перед собой таблицу областей определения функций.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Для начала научимся находить Область определения суммы функций. Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать пересечение числовых множеств, записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.

Дана функция y=x 7 +x+5+tgx, и надо найти ее область определения.

Функция f представлена суммой четырех функций: f1 — степенной функции с показателем 7 , f2 — степенной функции с показателем 1 , f3 — постоянной функции и f4 — функции тангенс.

Переходим к нахождению Области определения произведения функций. Для этого случая имеет место аналогичное правило:

Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f.

Найти область определения функции y=3·arctgx·lnx.

Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f1(x)·f2(x)·f3(x) , где f1 – это постоянная функция, f2 – это функция арктангенс, а f3 – логарифмическая функция с основанием e.

Областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.

В частности, области определения функций y=f(x) и y=−f(x) совпадают, и это позволяет утверждать, что Область определения разности функций можно найти так же, как и область определения суммы функций.

Найдите область определения функции y=log3x−3·2 x.

D(f1)=(0, +∞) . Найдем область определения функции f2 . Она совпадает с областью определения показательной функции с основанием 2 , то есть, D(f2)=(−∞, +∞) .

Теперь мы можем найти область определения функции y=log3x−3·2 x :

Область определения сложной функции

Рассмотрим для начала Сложную функцию f, которой соответствует формула y=f1(f2(x)) . Как же найти область определения сложной функции f? Изучив соответствующий пункт в учебнике [2, c. 118] , становится ясно, что D(f) — это множество всех x из области определения функции f2 , для которых f2(x) входит в область определения функции f1 .

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать решение систем неравенств, так как это выходит за рамки этой статьи.

Найти область определения функции y=lnx 2 .

Исходную функцию можно представить в виде y=f1(f2(x)) , где f1 – логарифм с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2 .

Обратившись к известным областям определения основных элементарных функций, имеем D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞) .

Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Посмотрим, что нам известно: D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1] . Остается найти пересечение множеств таких значений x, что x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1) :

Чтобы решить неравенство arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус. Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .

Вернемся к системе:

Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .

Заданную сложную функцию можно расписать как y=f1(f2(f3(x))) , где f1 – sin, f2 – функция корень четвертой степени, f3 – lg.

Область определения функции f является пересечением множеств таких значений x, для которых x∈D(f3) , f3(x)∈D(f2) , f2(f3(x))∈D(f1) . Имеем

Замечание. В разобранных выше примерах мы специально брали функции, составленные только из основных элементарных функций, чтобы лучше донести принцип нахождения области определения.

Область определения дроби

Область определения логарифма с переменной в основании

Область определения показательно-степенной функции

Функция f1 определена на множестве всех действительных чисел, то есть, D(f1)=(−∞, +∞) .

Функция f2 – сложная, представим ее как y=f3(f4(x)) , где f3 – квадратный корень, D(f3)=[0, +∞) , а функция f4 – целая рациональная, D(f4)=(−∞, +∞) . Найдем область определения функции f2 по соответствующему правилу:

В общем случае

Понятно, что в общем случае нам может потребоваться найти область определения функции, которую составляют как суммы, разности, произведения функций, так и дробные, сложные и другие функции. Разобранные выше правила позволяют справиться с этой задачей. Главное действовать последовательно и аккуратно.

Таблицы основных результатов

Давайте соберем изученные правила нахождения областей определения в таблицу, так все они будут перед глазами, так их будет проще запомнить и удобно использовать.

Еще очень полезен список следствий, которые наиболее практически значимы.

Как найти область определения логарифмической функции примеры

Как найти область определения функции?

Будем исходить из того, что Вы знаете, что такое область определения функции и что Вам известны области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т. п.). Если нет, то рекомендуем вернуться к информации указанной статьи, так как ниже мы будем постоянно опираться на нее, объясняя, как найти область определения функции.

Навигация по странице.

Что значит найти область определения функции?

Известно, что когда задается какая-либо функция, то сразу указывается ее область определения. Другими словами, нельзя говорить о функции без ее области определения. Тогда возникает логичный вопрос, откуда взяться задаче с формулировкой найти область определения функции, если область определения должна быть указана вместе с самой функцией? А дело здесь вот в чем.

Функции очень часто задают, просто записывая формулу вида y=f(x) , при этом область определения функции явно не указывают. В этом случае подразумевают, что областью определения функции является множество всех таких значений аргумента, при котором выражение f(x) смысл (то есть, ОДЗ переменной x выражения f(x) ). Так вот встает задача нахождение этого множества значений аргумента, которая по сути и составляет задачу поиска области определения функции.

Что указывает на возможное ограничение области определения?

В школе обычно изучаются функции действительной переменной. При этом область определения отдельно взятой функции это, либо все множество действительных чисел R, либо некоторое его подмножество, например, промежуток (0, +∞) или множество [−3, 1)∪[5, 7) . По виду формулы, задающей функцию, можно определить, что область определения функции отлична от множества R. Давайте рассмотрим, что указывает на возможное наличие ограничений области определения:

Правила нахождения области определения

Первые задачи на нахождение области определения функции начинают проскакивать на уроках алгебры в 8-9 классе. Они довольно простые и решаются, исходя из очевидных соображений.

В качестве примера приведем рассуждения, позволяющие найти область определения функции y=2·x+1 . Мы можем вычислить значение выражения 2·x+1 для любого значения переменной x, поэтому, область определения функции y=2·x+1 – это множество всех действительных чисел.

Но дальше начинают встречаться функции все более и более сложных видов, особенно в сборниках задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, и возникает потребность в строгих правилах, позволяющих находить области определения всевозможных функций. Но тут всплывает неприятный сюрприз: в учебниках алгебры эти правила отдельно не выделены и их приходится выискивать из контекста. Восполним этот пробел.

Для удобства изучения дальнейшего материала расположите перед собой таблицу областей определения функций.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Для начала научимся находить Область определения суммы функций. Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать пересечение числовых множеств, записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.

Дана функция y=x 7 +x+5+tgx, и надо найти ее область определения.

Функция f представлена суммой четырех функций: f1 — степенной функции с показателем 7 , f2 — степенной функции с показателем 1 , f3 — постоянной функции и f4 — функции тангенс.

Переходим к нахождению Области определения произведения функций. Для этого случая имеет место аналогичное правило:

Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f.

Найти область определения функции y=3·arctgx·lnx.

Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f1(x)·f2(x)·f3(x) , где f1 – это постоянная функция, f2 – это функция арктангенс, а f3 – логарифмическая функция с основанием e.

Областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.

В частности, области определения функций y=f(x) и y=−f(x) совпадают, и это позволяет утверждать, что Область определения разности функций можно найти так же, как и область определения суммы функций.

Найдите область определения функции y=log3x−3·2 x.

D(f1)=(0, +∞) . Найдем область определения функции f2 . Она совпадает с областью определения показательной функции с основанием 2 , то есть, D(f2)=(−∞, +∞) .

Теперь мы можем найти область определения функции y=log3x−3·2 x :

Область определения сложной функции

Рассмотрим для начала Сложную функцию f, которой соответствует формула y=f1(f2(x)) . Как же найти область определения сложной функции f? Изучив соответствующий пункт в учебнике [2, c. 118] , становится ясно, что D(f) — это множество всех x из области определения функции f2 , для которых f2(x) входит в область определения функции f1 .

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать решение систем неравенств, так как это выходит за рамки этой статьи.

Найти область определения функции y=lnx 2 .

Исходную функцию можно представить в виде y=f1(f2(x)) , где f1 – логарифм с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2 .

Обратившись к известным областям определения основных элементарных функций, имеем D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞) .

Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Посмотрим, что нам известно: D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1] . Остается найти пересечение множеств таких значений x, что x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1) :

Чтобы решить неравенство arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус. Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .

Вернемся к системе:

Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .

Заданную сложную функцию можно расписать как y=f1(f2(f3(x))) , где f1 – sin, f2 – функция корень четвертой степени, f3 – lg.

Область определения функции f является пересечением множеств таких значений x, для которых x∈D(f3) , f3(x)∈D(f2) , f2(f3(x))∈D(f1) . Имеем

Замечание. В разобранных выше примерах мы специально брали функции, составленные только из основных элементарных функций, чтобы лучше донести принцип нахождения области определения.

Область определения дроби

Область определения логарифма с переменной в основании

Область определения показательно-степенной функции

Функция f1 определена на множестве всех действительных чисел, то есть, D(f1)=(−∞, +∞) .

Функция f2 – сложная, представим ее как y=f3(f4(x)) , где f3 – квадратный корень, D(f3)=[0, +∞) , а функция f4 – целая рациональная, D(f4)=(−∞, +∞) . Найдем область определения функции f2 по соответствующему правилу:

В общем случае

Понятно, что в общем случае нам может потребоваться найти область определения функции, которую составляют как суммы, разности, произведения функций, так и дробные, сложные и другие функции. Разобранные выше правила позволяют справиться с этой задачей. Главное действовать последовательно и аккуратно.

Таблицы основных результатов

Давайте соберем изученные правила нахождения областей определения в таблицу, так все они будут перед глазами, так их будет проще запомнить и удобно использовать.

Еще очень полезен список следствий, которые наиболее практически значимы.

Как найти область определения логарифмической функции примеры

Как найти область определения функции

Что такое область определения функции

На уроке о Понятии функции мы узнали, что существует X — множество, на котором формула, которой задана функция, имеет смысл. В математическом анализе это множество часто обозначают как D (Область определения функции). В свою очередь множество Y обозначают как E (Область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел).

Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл, то есть наибольшее множество значений аргумента, которое приводит к действительным значениям функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором «функция работает».

Для общего понимания пример пока без формулы. Функция задана в виде пар отношений:

Найти область определения это функции.

Ответ. Первый элемент пар — это переменная x. Так как в задании функции даны и вторые элементы пар — значения переменной y, то функции имеет смысл только для тех значений икса, которым соответствует определённое значения игрека. То есть берём все иксы данных пар в порядке возрастания и получаем из них область определения функции:

Та же логика работает, если функция задана формулой. Только вторые элементы в парах (то есть значения игрека) получаем, подставляя в формулу те или иные значения икса. Однако, чтобы найти область определения функции, нам не нужно перебирать все пары иксов и игреков. Например, как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ( )? Нужно всего лишь решить неравенство

Так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса больше пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти до плюс бесконечности).

Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль.

Но и в том и в другом случае ответ (значение некоторого выражения) не может быть вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла.

Пример (пока не совсем математический): если программа выдаёт название месяца по номеру месяца в году, то, введя «15», вы получите сообщение об ошибке.

Чаще всего вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят в Область определения функции. И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой функцию. При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего.

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Область определения корня n-й степени

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Если n — чётное число, то областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел, то есть [0; + ∞[ ;

Если n — нечётное число, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если — 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1] .

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

Если a — положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

Если a — отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ .

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

Если — положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[ ;

Если — отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[ .

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции — множество [0; + ∞[ .

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях «икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или, что то же самое — множество R действительных чисел, или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой, областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Найти область определения функции .

Пример 7. Найти область определения функции .

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = sin(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел.

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел.

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

Где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4] .

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1] .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[ .

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2] .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 17. Найти область определения функции .

Пример 18. Найти область определения функции .

Область определения линейной функции

Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции — множество R действительных чисел.

poiskvstavropole.ru

Область определения и множество значений

$ |x| = \begin{cases} x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0 \\ -x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x А графиком является

Свойства:

1) $|x| \geq 0$ 2) $|x|=0 \longleftrightarrow x=0$ 3) $|xy|=|x||y|$ 4) $|x+y| \leq |x|+|y|$ 5) $||x||=|x|$ 6) $|-x|=|x|$ 7) $|x-y|=0 \longleftrightarrow x=y$ 8) $|x-y| \leq |x-z|+|z-y|$ 9) $|\dfrac{x}{y}|=\dfrac{|x|}{|y|} \,\,\,\,\, y \neq 0$ 10) $ ||x|-|y|| \leq |x-y|$

Для того, чтобы найти область определения и множество значений функции, состоящей из абсолютных значений, необходимо учитывать вышеуказанные свойства. Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}$ Решение:

$|x|-2=0 \rightarrow |x|=2 \rightarrow x=\pm 2$

Таким образом

$D_f=\mathbb{R} - \lbrace \pm 2 \rbrace$

С другой стороны $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}= \begin{cases} \dfrac{x+2}{x-2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \geq 0 \\ \\ \dfrac{x+2}{-x-2}=-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, x So

$x \geq 0 \rightarrow y=\dfrac{x+2}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2(y+1)}{y-1} \geq 0$

Следовательно $\begin{cases} x \geq 0 \,\,\,\,\,\,\,\, y\in (-\infty,-1] \cup (1,+\infty) \\ \\ x

$\rightarrow R_f=(-\infty,-1] \cup (1,+\infty)$

Вот график $f$ Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}$. Решение: $|x+1|-4 >0 \,\, \rightarrow|x+1|>4 \rightarrow$ $\begin{cases} x+1>4 \rightarrow x>3 \\ x+1

$D_f=(-\infty,-5) \cup (3,+\infty)$

Отметим, что

$y=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}>0$

С другой стороны

$y^2=\dfrac{1}{|x+1|-4} \rightarrow |x+1|=\dfrac{1}{y^2}+4>4 \rightarrow \dfrac{1}{y^2}>0 \rightarrow y \in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

Следовательно

$y \in (\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace ) \cap ( \mathbb{R} ^+ )$

Значит

$R_f=(0,+\infty)=\mathbb{R}^+$

Вот график $f$
Упражнения
Найти область определения и множество значений.

1) $y=\dfrac{x}{|x-1|}$ 2) $y=\dfrac{x-4}{|x|-4}$ 3) $y=\dfrac{\sqrt{\sqrt{(x+1)^2}-1}}{\sqrt{|x+1|-1}}$ 4) $y=\dfrac{\sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ 5) $y=\sqrt{-|x+1|}$ 6) $y=\dfrac{\sqrt{(x^2-3x+2)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}}$ 7) $y=|x-1|+|x|+|x+1|$

Общий вид показательной функции $y=a^{u(x)}$, где $a>0$, а $u(x)$ - функция. Нахождение области определения и множества значений показательной функции зависит от $u(x)$. В специальном виде, если $a=e \simeq 2.71828\cdots$, то $y=e^{u(x)}$. Для лучшего понимания $y=a^{u(x)}$ его можно переписать как $y=e^{u(x)\log_e a}$. Отметим, что $\log_e a$ обозначается как $\ln a$. Следовательно,

$y=e^{u(x)\ln a}$

Согласно этому определению $a>0$ является достаточным условием для определения показательной функции, если $u(x)$ вещественная функция.

Совет:

$y=e^x=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\dfrac{1}{n})^nx=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots\,\,\,\,\, (n \in \mathbb{N})$

Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=2^{-x^{-2}}$. Решение:Отметим, что если $x=0$, то знаменатель дроби неопределен. Следовательно,

$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$

Определим множество значений: Для начала отметим, что $y>0$. С другой стороны

$\log y=-\dfrac{1}{x^2}\log 2 \rightarrow x^2=-\dfrac{\log 2}{\log y} \rightarrow x=\pm \sqrt{-\dfrac{\log 2}{\log y}} \rightarrow \dfrac{\log 2}{-\log y}>0 \rightarrow$

$ \log y 0 \rightarrow 0 Значит

$R_f=(0,1)$

График этой функции

Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=3^{-x}$. Решени

www.math10.com

Как находить область определения функции ???

Область определения и область значений функции. Пусть нам дана функция y = f(x). Все значения независимой переменной (х) образуют область определения функции - D( f ). Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) , образуют область значений функции – Е ( f ). При нахождении области определения функции надо обращать внимание на следующие моменты: 1. Пусть дана функция в виде многочлена у = Р (х) . (у = ах^n + bx^k + … + c). В этом случае при любом значении х данная функция всегда будет иметь определенное значение. Это значит, что D(f) = (-беск; +беск) 2. Пусть дана функция в виде дроби f(x)/q(x) . В этом случае g(x) не=0. 3. Пусть дана функция вида кор из f(x). В этом случае должно выполняться условие f(x) >= 0. (Подкоренное выражение должно принимать неотрицательные значения) . 4. При нахождении области определения логарифмической функции у = log (осн g(x)) f(x) надо учитывать, что f(x)>0, g(x) > 0, f(x) не=1. А производная находится при другом исследовании функции.

Производная тут вообще не причём. Область определения зависит от значений, которые может принимать аргумент, что бы функция не потеряла смысл. Например для функции у=1/х область определения (-бесконечность, 0)(0,+бесконечность) то есть при х=0 функция не определена.

Нет, это все возможные значения у.

область определения - все возможные значения х. чтобы их найти, нужно найти все х, при которых функция будет иметь смысл, например все х, при которых знаменатель дроби не равен 0, подкоренное выражение неотрицательное и др.

touch.otvet.mail.ru

Как найти область определения функции?

Нужно посмотреть, какой вид имеет функция.

Часто область определения функции просят найти у функций, которые являются дробями, либо же являются иррациональными (содержат один или несколько радикалов), либо содержат логарифм.

Итак, рассмотрим эти три основных случая:

1) если функция имеет вид дроби (дробно-рациональная функция), то её область определения есть то множество значений аргумента, при котором знаменатель не обращается нулю.

Например, функция y = 1/[(x – 1)(x + 2)].

Знаменатель этой функции превращается в нуль при x = –2 и при x = 1.

Следовательно, область определения данной функции будет множество: (-беск.; –2) U (–2; 1) U (1; +беск.)

На числитель можно вообще не обращать внимания. Он не играет роли.

2) если функция содержит хотя бы один радикал чётной степени, то областью её определения будет являться множество значений аргумента, при котором значение каждого радикала чётной степени больше или равно нулю.

Буду обозначать знак корня как sqrt.

Например, имеем функцию: y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)]

Радикал имеет смысл, когда подрадикальное выражение неотрицательно.

А значит, первый радикал имеет смысл при x >= 3, второй — при x <= 5.

Для того чтобы найти область определения данной функции, нужно найти пересечение этих двух множеств. Оно равно [3; 5].

Итак, областью определения функции y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)] равняется множество [3; 5].

3) если функция представляет собой логарифм, то её областью определения служит множество, при котором логарифмируемое выражение строго положительно.

Например, функция y = lg (x – 16). Её областью определения является множество (16; + беск.). Скобка при числе 16 круглая, потому что логарифмируемое выражение должно быть строго больше нуля.

В большинстве прочих случаев (то есть когда функция не содержит ни дробей, ни корней, ни логарифмов)— множеством определения функции является вся числовая прямая.

Например, у функции y = x^3 – 6x^2 + 7 область определения равна R.

www.bolshoyvopros.ru